现代测试技术习题解答
|cn| 2A/π 2A/3π -3ω0 -ω0 ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 3ω0 5ω0 ω π/2 ω0 -5ω0 -3ω0 -ω0 -π/2 相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
2-5 求指数函数x(t)?Ae?at(a?0,t?0)的频谱。
解：
3ω0 5ω0 ω φn 2A/5π -5ω0 幅频图
X(f)??x(t)e????j2?ftdt??Aee0??at?j2?fte?(a?j2?f)tdt?A?(a?j2?f)?0?AA(a?j2?f) ?22a?j2?fa?(2?f)
X(f)?ka?(2?f)22
?(f)?arctanImX(f)2?f
??arctanReX(f)a|X(fA/φ(f) π/0 f 0 f -π/2 x(t) 1 单边指数衰减信号频
2-6 求被截断的余弦函数cosω0t(见图1-26)的傅里叶变换。
??cosω0tx(t)????0t?Tt?T
-T w(t) 0 -
1 T t
解：x(t)?w(t)cos(2?f0t)
w(t)为矩形脉冲信号
W(f)?2Tsinc(2?Tf)cos(2?f0t)?1j2?f0te?e?j2?f0t 2??所以x(t)?1w(t)ej2?f0t?1w(t)e?j2?f0t
22
-T 0 图1-26 被截断的余弦
T t 1
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根据频移特性和叠加性得： X(f)?11W(f?f0)?W(f?f0) 22?Tsinc[2?T(f?f0)]?Tsinc[2?T(f?f0)] 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
X(f) T -f0 f0 被截断的余弦函数频
f
2-6求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。
?cos?0t;t?T x(t)??t?T?0;
解
???T?j2?ftX(f)?x(t)edt?cos2?f0te?j2?ftdt
???T
?T1 ?e?j2?f0t?ej2?f0te?j2?ftdt?T2
?sin?(f?f0)2Tsin?(f?f0)2T?
?T?? ?(f?f0)2T???(f?f0)2T?
?Tsinc??1?sinc??2
???????2-7 求指数衰减信号x(t)?e?atsinω0t的频谱
x(t) 指数衰减信号
解：
sin(?0t)?1ej?0t?e?j?0t2j
??
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所以x(t)?e?at1?ej?t?e?j?t?
002j
单边指数衰减信号x1(t)?e?at(a?0,t?0)的频谱密度函数为
X1(f)?????x(t)1e?j?tdt??e?ate?j?tdt?0?1a?j??2a?j?a??2
根据频移特性和叠加性得：
X(?)?
11?a?j(???0)a?j(???0)?X(???)?X(???)??2?1?2?010?22j2j?a?(???0)a?(???0)2?
222?0[a?(???0)]2a?0??2?j[a?(???0)2][a2?(???0)2][a2?(???0)2][a2?(???0)2]X(ω) φ(ω)
π 0 -π ω 0
2-9 求h(t)的自相关函数。
?ath(t)?e0ω 指数衰减信号的频谱
?(t?0,a?0) (t?0)解：这是一种能量有限的确定性信号，所以
Rh(?)??h(t)h(t??)dt??e?ate?a(t??)dt???0??1?a? e2a2-10 求方波和正弦波（见图5-24）的互相关函数。
x(t1 0 -1 y(t1 0 -1 图5-24 题5-3图
sin(?tT t t
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解法1：按方波分段积分直接计算。
Rxy(?)?
1T1Tx(t)y(t??)dt?x(t??)y(t)dt??00TTT3TT?1?4???(?1)sin(?t???)dt??T41sin(?t???)dt??3T(?1)sin(?t???)dt? T?044?2?sin(??)?解法2：将方波y(t)展开成三角级数，其基波与x(t)同频相关，而三次以上谐波与x(t)不同频不相关，不必计算，所以只需计算y(t)的基波与x(t)的互相关函数即可。
y(t)??4?11?cos?t?cos3?t?cos5?t???35?
??1T1T?4?Rxy(?)??x(t)y(t??)dt??sin(?t)???cos(?t???)dtT0T0???4T1???sin(?t??t???)?sin(?t??t???)?dt?0?T2所以
T2?T???sin(2?t???)dt?sin(??)dt?0???0??T?22???0?Tsin(??)??sin(??)?T?
解法3：直接按Rxy(?)定义式计算(参看下图)。
Rxy(?)?
1Tx(t)y(t??)dt?0T3T????T?1?T???4(?1)sin(?t)dt??T41sin(?t)dt??3T(?1)sin(?t???)dt?
????T?044?2?sin(??)?x(t1 0 -y(t1 0 -y(t+?1 0 -
sin(?T t T43T4T t ? T??43T??4T t 1
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参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数
T?41??0????T2?4TRy(?)????3???T2?T??Ry(??nT)n?0,?1,?2,Ry(?)
T/0 方波的自相关函数
T ?
2-11 某一系统的输人信号为x(t)（见图5-25），若输出y(t)与输入x(t)相同，输入的自相关函数Rx(?)和输入—输出的互相关函数Rx(?)之间的关系为Rx(?)=Rxy(?+T)，试说明该系统起什么作用？
x(tRx(?) 系 统 y(tRxy(?0 ? 图5-25 题5-4图
0 T ?
解：因为Rx(?)=Rxy(?+T)
所以lim1?Tx(t)x(t??)dt?lim1?Tx(t)y(t???T)dt
T??T0T??T0所以x(t+?)=y(t+?+T)
令t1 = t+?+T，代入上式得
x(t1 - T)=y(t1)，即y(t) = x(t - T)
结果说明了该系统将输入信号不失真地延迟了T时间。
2
2-12 已知信号的自相关函数为Acos??，请确定该信号的均方值?x和均方根值xrms。 解：Rx(?)=Acos??
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?x= Rx(0)=A
2xrms??x?A
2-13已知某信号的自相关函数，求均方值 、和均方根值xrms。
2-14已知某信号的自相关函数，求信号的均值μx、均方根值 、功率谱。
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现代测试技术习题解答第二章信号的描述与分析-副本
