电工技术教案
§4.4. 电阻、电感、电容的串联的交流电路
一. 电压、电流间的关系 设：i?2Isin?t;I?I?0?
u?uR?uL?uC
??U??U??U? U??[R?j(X?X)]?I??(R?jX)I?U LCRLC?设：z?R?jX为串联交流电路的复阻抗
Z?R?jX?Z(cos??jsin?)?Z?ej??Z?? 其中：阻抗Z的模为、阻抗角分别为：
Z?R2?X2;??arctgX R可见，电抗X是角频率ω的函数。
当电抗X＞0(ωL＞1/ωC)时，阻抗角φZ＞0，阻抗Z呈感性； 当电抗X＜0(ωL＜1/ωC＝时，阻抗角φZ＜0，阻抗Z呈容性； 当电抗X＝0(ωL＝1/ωC)时，阻抗角φZ＝0，阻抗Z呈阻性。 复阻抗
1． 定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比定义为该二端网络的阻抗，记为Z. 第 11 页 共 22 页
第四章 正弦交流电路
注意：此时电压相量U与电流相量I的参考方向向内部关联。
ggUU??u （复数）阻抗(?)?Z??z?R?jX Z@g?I??iI|Z|
U其中 Z?(?) —阻抗Z的模，即阻抗的值。 ?Z
IgX
?Z??u??i —阻抗Z的阻抗角 R?Zcos?z(?) —阻抗Z的电阻分量 X?Zsin?z(?) —阻抗Z的电抗分量
R
阻抗三角形
电阻元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为
UR?RIR 则 ZR?R?gg&URIRg
电感元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电感的伏安关系的相量形式为
g+ IL
j?L
UL g_ UL?j?LIL 则 ZL?j?L?ggULILgg@jXL
电容的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电容的伏安关系的相量形式为
IC?j?CUCg1g1g UC?IC??jICj?C?Cgg第 12 页 共 22 页
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则 ZC??j11UC —容抗 ?g@jXC XC???C?CICg欧姆定律的相量形式 U?ZI
二、功率 1．瞬时功率
gg
任意一端口电路N0，在端口的电压u与电流i的参考方向对电路内部关联下，其吸收瞬时功率：p(t)?u(t)?i(t)
若设正弦稳态一端口电路的正弦电压和电流分别为
u(t)?2Ucos?t i(t)?2Icos(?t??)
式中?u?0为正弦电压的初相位，
?i???为正弦电流的初相位，
?Z??u??i??为端口上电压与电流的相位差。
则在某瞬时输入该正弦稳态一端口电路的瞬时功率为
则p(t)?2Ucos?t?2Icos(?t??) ?UI?cos??cos(2?t??)? ?UIcos??UIcos(2?t??) 常量 两倍于原频率的正弦量 ?UIcos??UIcos2?tcos??UIsin2?tsin? ?UIcos?(1?cos2?t)?UIsin2?tsin?
不可逆部分PR(t)(?0) 可逆部分PX(t)
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第四章 正弦交流电路
2．平均功率
1TP@?p(t)dt?UIcos?
T0? P是一个常量，由有效值U、I及cos?，(???u??i)三者乘积确定，量纲：W ? 当P＞0时，表示该端口电路吸收平均功率P；当P＜0时，表示该端口电路发出平均
功率|P|。
? 单一无源元件的平均功率：PR?UI，PL?0,PC?0。
?P?0，始终消耗功率。
－90???0容性?oo0???90o感性?3．无功功率
正弦稳态一端口电路内部与外部能量交换的最大速率(即瞬时功率可逆部分的振幅)定
UIsin? 义为无功功率Q，即：Q@? Q也是一个常量，由U、I及sin?三者乘积确定，量纲：乏(Var) ? QR?0,QL?UI,QC??UI
0o???90oQ?0 吸收无功功率 ?90o???0oQ?0 发出无功功率 4．视在功率（表观功率）
S@UI，反映电源设备的容量（可能输出的最大平均功率），量纲：伏安（VA）。
P、Q和S之间满足下列关系 S 2＝P 2+Q 2 即有 S?P2?Q2,tg??Q/P
S
Q
?
P
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P?UIcos??Scos?
Q?Ssin?
功率守恒情况：
瞬时功率守恒：p(t)??pk(t)
平均功率守恒：在一端口正弦稳态电路吸收的平均功率等于该电路内各电阻所吸收的平均功率之和。p??pk??RkIk2
无功功率守恒：在一端口正弦稳态电路吸收的总无功功率等于电路内各电感和电容吸收的无功功率之和。
Q??Qk??XkIk2??(XLk?XCk)Ik2
视在功率不守恒：应该注意，在一般情况下，总视在功率不等于该电路各部分的视在功率之和。因为一般情况下复数之和的模不等于复数的模之和。S??Sk
例：在R﹑L﹑C串联的电路中,R=30Ω,L=127.4mH,C=39.8μF,电源电压
u?2202sin(314t?20o),试求
①感抗﹑容抗和复阻抗; ②电源有效值及瞬时值表达式 ③各元件电压有效值及瞬时值表达式
④电路有功功率﹑无功功率及视在功率﹑功率因数 ⑤做向量图. 解：（1）XL??L?40? XC?Z?R?jX?30?j40
1?80? ?C则Z?R2?X2?50? ??arctanX??53.1? RZ?Z???50??53.1?? （2）I?.UU??u??4.4?73.1?A 则I?4.4A ZZ??.第 15 页 共 22 页
第三章正弦交流电流电路
