课 题：2.3函数的极限(二)
教学目的：
1.理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限． 2.已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限． 3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系 教学重点：掌握当x?x0时函数的极限
教学难点：对“x?x0时，当x?x0时函数的极限的概念”的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
上节课我们学习了当x趋向于∞即x→∞时函数f(x)的极限.当x趋向于∞时，函数f(x)的值就无限趋近于某个常数a.我们可以把∞看成数轴上的一个特殊的点.那么如果对于数轴上的一般的点x0，当x趋向于x0时，函数f(x)的值是否会趋近于某个常数a呢？ 教学过程：
一、复习引入： 1.数列极限的定义：
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限趋近于某个．．．．．常数a（即an?a无限趋近于0），那么就说数列{an}以a为极限，或者说a是数列{an}的极限．记作liman?a，读作“当n趋向于无穷大时，an的极限等
n??于a”“n?∞”表示“n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思liman?a有
n??时也记作：当n?∞时，an?a． 2.几个重要极限： （1）lim1?0 （2）limC?C（C是常数）
n??n??nnn （3）无穷等比数列{q}（q?1）的极限是0，即 limq?0(q?1) n??3.函数极限的定义:
(1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常
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数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a. 记作：
x???limf(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a.
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a. 记作
x???limf(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a.
(3)如果
x???limf(x)=a且limf(x)=a，那么就说当x趋向于无穷大时，函
x???数f(x)的极限是a，
记作：limf(x)=a或者当x→∞时，f(x)→a.
x??4.常数函数f(x)=c.(x∈R)，有limf(x)=c.
x??limf(x)存在，表示limf(x)和limf(x)都存在，且两者相等.所以limf(x)
x??x???x???x??中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限liman中的∞仅有+∞的意义 x??二、讲解新课： 1.研究实例
(1)探讨函数y?x，当x无限趋近于2时的变化趋势． 当x从左侧趋近于2时，记为：x?2．
?2x y=x2 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 1.99 1.999 1.9999 ? 2 ? 4 1.21 1.69 2.25 2.89 3.61 3.9601 3.996 3.9996 ?当x从右侧趋近于2时, 记为：x?2.
x y=x 22.9 2.7 2.5 2.3 2.1 2.01 2.001 2.0001 4.004 4.0004 2? 2 8.41. 7.29 6.25 5.25 4.41 4.04 22? 4 x?2,（右极限）lim?x?2,因此有limx?2． 发现（左极限）lim?x?2x?2x?2(2)我们再继续看
x2?1y?,当x无限趋近于1（x?1）时的变化趋势:
x?1 第 2页（共5页）
x2?1y??x?1,(x?1),当x从左侧趋近于1时，即x?1?时，y?2．
x?1当x从右侧趋近于1时, 即x?1时，y?2．
?x2?1即（左极限）lim?lim(x?1)?2，
?x?1x?1x?1?x2?1（右极限）?lim?lim(x?1)?2
x?1?x?1x?1?x2?1?lim?lim(x?1)?2
x?1x?1x?1?x?1(x?0)?(3)分段函数f(x)??0(x?0)当x→0的变化趋势.
?x?1(x?0)?y1Ox-1
f(x)??1 ①x从0的左边无限趋近于0，则f(x)的值无限趋近于－1.即lim?x?0f(x)?1 ②x从0的右边无限趋近于0，则f(x)的值无限趋近于1. 即lim?x?0可以看出
x?x0?limf(x)?lim?f(x)，并且都不等于f(0)?0．象这种情况，
x?x0就称当x?0时，f(x)的极限不存在．
2. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x无限趋近于x0（x?x0）时，如果函数y?f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向x0时，函数y?f(x)的极限是a，记作limf(x)?a x?x0 第 3页（共5页）
特别地，limC?C；limx?x0 x?x0x?x03. limf(x)?a?lim?f(x)?lim?f(x)?a
x?x0x?x0x?x0f(x)?a表示当x从左侧趋近于x0时的左极限，lim?f(x)?a表其中lim?x?x0x?x0示当x从右侧趋近于x0时的右极限 三、讲解范例：
例1求下列函数在X＝0处的极限
?2x,x?0x?x2?1（1）lim2 （2）lim （3）f(x)? ?0,x?0 x?02x?x?1x?0x?1?x2,x?0?x2?1x?1?lim?1 解：（1）lim2x?02x?x?1x?02x?1 （2）lim?x?0xxx??1,lim?1?lim不存在． ?x?0x?0xxx?2x,x?0?（3）f(x)? ?0,x?0
?1?x2,x?0?2x?limf(x)?lim(1?x)?1,limf(x)?lim2?1 ????x?0x?0x?0x?0?limf(x)?limf(x)?1?limf(x)?1． ??x?0x?0x?0y2x1+x21Ox
四、课堂练习：
1．对于函数y?2x?1填写下表，并画出函数的图象，观察当x无限趋近于1时的变化趋势，说出当x?1时函数y?2x?1的极限
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x y=2X＋1
0.1 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999 ? 1 ? x y=2X＋1 1.5 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 ? 1 ? 2．对于函数y?x2?1填写下表，并画出函数的图象，观察当x无限趋近于3时的变化趋势，说出当x?3时函数y?x2?1的极限
x y=X－1
2 2.9 2.99 2.999 2.9999 2.99999 2.999999 ? 3 ? x y=X－12 3.1 3.01 3.001 3.0001 3.00001 3.000001 ? 3 ? 3.求如下极限：
x2?1(x?1)3?(1?3x)2lim2(sinx?cosx?x) ⑴lim2; ⑵lim; ⑶23?x?12x?x?1x?0x?2xx?2⑷limx?41?2x?3x?21a2?x?a ;⑸lim（a?0）; ⑹lim x?0xx?0xx2?1x?12(x?1)3?(1?3x)x?3?lim? ⑵ lim?lim??3 答案：⑴lim2x?12x?x?1x?12x?1x?0x?01?2x3x2?2x3?21?2x?32(x?2)4 ⑶lim2(sinx?cosx?x)?2? ⑷lim?lim?
?x?4x?42x?x?21?2x?33221a2?x?a11⑸lim?lim? ⑹lim不存在．
x?0xx?0x?0xa2?x?a2a五、小结 ：函数极限存在的条件；如何求函数的极限
六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：
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高中数学《函数的极限》教案
