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考点二类比推理
【典例2】(1)已知等差数列{an}中,a1 009=0,则a1+a2+…+am=a1+a2+…+a2
017-m
(m<
2 017).等比数列{bn}中,b1 010=1,类比上述等差数列的结论,试写出等比数列的结论为____________.
(2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,设a,b,c分别表示三条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.
类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想. 【解析】(1)在等差数列{an}中,若a1 009=0,
则有等式a1+a2+…+am=a1+a2+…+a2 017-m成立(m<2 017,m∈N*), 类比到等比数列把“+”改为”×”. 故相应的在等比数列{bn}中,若b1 010=1,
则有等式b1b2…bm=b1b2…b2 019-m(m<2 019,m∈N*)成立. 答案:b1b2…bm=b1b2…b2 019-m(m<2 019,m∈N*)成立. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°. 设a,b,c分别表示3条边的长度, 由勾股定理,得c2=a2+b2.
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类似地,在四面体P-DEF中,
∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°.设S1,S2,S3和S分别表示△PDF,△PDE,△EDF和△PEF的面积,相应于直角三角形的2条直角边a,b和1条斜边c,图中的四面体有3个“直角面”S1,S2,S3和1个“斜面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜想S2=
+
+
成立.
把本例(2)条件“由勾股定理,得c2=a2+b2”换成“cos2A+cos2B=1”,则在空间中,给出四面体性质的猜想. 【解析】如图,在Rt△ABC中,
cos2A+cos2B=
+
=
=1.
于是把结论类比到四面体P-A′B′C′中,我们猜想,三棱锥
P-A′B′C′中,若三个侧面PA′B′,PB′C′,PC′A′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.
类比推理的分类及处理方法
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在求解由某种熟悉的定义产生的类类比 比推理型试题时,可以借助原定义定义 来求解 从一个特殊式子的性质、一个特殊平面几何与立图形的性质入手,提出类比推理型类比 问题,求解时要认真分析两者之间性质 的联系与区别,深入思考两者的转列 化过程是求解的关键 已知熟悉有一些处理问题的方法具有类比类比 性,可以把这种方法类比应用到其方法 他问题的求解中,注意知识的迁移 处理方法 比未知问题的的处理方法类数列与等比数体几何、等差类比新定义 已知熟悉定义
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2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习考点集训：考点二 6.4 类比推理
