第八章第四节 - 图文

由天下分享时间：2025/1/22 19:06:30 加入收藏我要投稿点赞

§4二阶线性微分方程解的结构

形如y???P?x?y??Q?x?y?f?x?(8—22)的微分方程，称为二阶线性微分方程。该方程的特点是：所含的y，y?和y??都是一次，且不含y、y?和y??的乘积项。若f?x??0，则方程(8—22)变为y???P?x?y??Q?x?y?0

(8—23)方程（8—22）称为二阶线性非齐次微分方程，而方程(8—23)称为与（8—22）对应的二阶线性齐次微分方程。一、二阶线性齐次微分方程解的结构定理8.1若函数y1?x?与y2?x?是方程（8—23）的两个解，则y?C1y1?x??C2y2?x?也是方程(8—23)的解，其中C1,C2为任意常数.证明(8—24)把式(8—24)代入方程（8—23）左端，得?Cy??Cy???P?x??Cy??Cy???Q?x??Cy?Cy?22?22?1122???11??11?

????

?C1?y1?P?x?y1?Q?x?y1??C2?y2?P?x?y2?Q?x?y2?

????????

由于y1与y2是方程(8—23)的解，上式右端方括号中的表达式都恒等于零，因而整个式子恒等于零，所以式(8—24)是方程(8—23)的解。齐次线性方程的这个性质，表明其解符合叠加原理，叠加起来的解(8—24)从形式上看含有C1与C2两个任意常数，但它不一定是方程(8—23)的通解。如方程y???y?0，y1?sinx，y2?2sinx都是其解，但y?C1sinx?2C2sinx??C1?2C2?sinx?Csinx显然不是其通解，因为它实质上只含一个任意常数C。那么在什么情况下式(8—24)才是方程(8—23)的通解呢？要回答这一问题，需先了解线性相关与线性无关的概念。设y1?x?，y2?x?，?,yn?x?为定义在区间I上的n个函数，若存在n个不全为零的常数k1,k2,?,kn，使得当x?I时，有恒等式k1y1?k2y2???knyn?0

成立，则称这n个函数在区间I上线性相关；否则称为线性无关。当n?2时，线性相关是指：存在不全为零的k1、k2，使k1y1?k2y2?0成立，假定k1?0，则有ky1??2?k，即线性相关意味着两函数之比恒为常数。若y1与y2之比y2k1不恒为常数，则称y1与y2线性无关。例如，上面说的y1?sinx，y2?2sinx，因性相关。相反，sinx,cosx，因为性无关。有了线性无关的概念之后，就可引出如下关于二阶线性齐次微分方程(8—23)的通解结构的定理定理8.2若y1?x?与y2?x?是方程（8—23）的两个线性无关的特解，则1y1sinx

?，所以sinx,2sinx线=y22sinx2sinx

?tanx不恒等于一个常数，所以，sinx,cosx线cosx

y?C1y1?x??C2y2?x?（C1,C2为任意常数）(8—25)是方程(8—23)的通解。例如，对方程y???y?0，容易验证，y1?sinx，y2?cosx是其解，且y1sinx??tanx不恒等于一个常数，所以y2cosx

y?C1sinx?C2cosx

是其通解。定理8.2可以推广到n阶线性齐次方程的情形。二、二阶线性非齐次微分方程解的结构与一阶非齐次微分方程一样，二阶线性非齐次微分方程的通解也等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。定理8.3如果y?x?是二阶线性非齐次方程(8—22)的一个特解,y?x?是对应齐次方程(8—23)的通解,则y?y?x??y?x?是二阶线性非齐次微分方程(8—22)的通解。证把式(8—26)代入方程(8—22)的左端，得(8—26)?????????

??y?y?Pxy?y?????Q?x?y?y

????

????????y???P?x?y??Q?x?y???y?P?x?y?Q?x?y?

由于y是方程(8—23)的解，y是方程(8—22)的解，可知第一个方括号内的表达式恒等于零，第二个恒等于f?x?，这样，y?y?x??y?x?使方程(8—22)的两端恒等，即式(8—26)是方程(8—22)的解。由于对应齐次方程(8—23)的通解y?C1y1?x??C2y2?x?中含有两个任意常数，所以y?y?x??y?x?中也含有两个任意常数，从而是二阶线性非齐次微分方程(8—22)的通解。例如，方程y???y?x是二阶线性非齐次微分方程，已知2y?C1sinx?C2cosx是对应齐次方程y???y?0的通解；又容易验证y?x2?2是所给方程的一个特解。因此y?C1sinx?C2cosx?x2?2

是所给方程的通解。求二阶线性非齐次微分方程的特解有时可用下述定理。定理8.4设非齐次线性微分方程(8—22)的右端f?x?是几个函数之和,如y???P?x?y??Q?x?y?f1?x??f2?x?而y1?x?与y2?x?分别是方程（8-27）y???P?x?y??Q?x?y?f1?x?与y???P?x?y??Q?x?y?f2?x?的特解,则y1?x??y2?x?即为原方程的特解.证将y?y1?x??y2?x?代入方程（8-27）的左端，得??????????y?y?Pxy?y?1?12?2??Q?x?y1?y2????

??????????

??y1?P?x?y1?Q?x?y1???y2?P?x?y2?Q?x?y2??????f1?x??f2?x?因此y1?x??y2?x?是方程（8-27）的一个特解.这一定理的结论通常称为线性非齐次微分方程的解的叠加原理.定理8.3，8.4也可推广到求n阶线性非齐次微分方程的特解的情形。定理8.5若函数y1?x??iy2?x?是方程y???py??qy?f1?x??if2?x?的解，则y1?x?与y2?x?分别是方程(8—28)y???py??qy?f1?x?与(8—29)y???py??qy?f2?x?的解。证(8—30)将y?y1?x??iy2?x?代入方程(8—28)，得??????y1?iy2???p??y1?iy2???q?y1?iy2??f1?x??if2?x?????

即??????y1?py1?qy1???i??y2?py2?qy2???f1?x??if2?x?????

我们知道两复数相等，当且仅当其实部和虚部分别相等，于是有??

y1?py1?qy1?f1?x???

y2?py2?qy2?f2?x?即y1?x?与y2?x?分别是方程(8—29)与(8—30)的解。习题8-41.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？（1）x（3）e

?xx2exexsin2x

（2）e

2x3e2xsin2xxlnx

2（4）cos2x（6）lnx

（5）ecos2x

x2.验证y1?cos?x及y2?sin?x都是方程y????y?0的解，并写出该方程的通解。3.验证15xe（C1,C2是任意常数）是方程y???3y??2y?e5x的通解。121

?4xcosx?sinx?（C1,C2是任意常数）是方程（2）y?C1cos3x?C2sin3x?32（1）y?C1e?C2e

x2x?