上式第一项中的
?δw?δw及分别利用（1-51）式展开，并分别运算，可得下式
?y?x2?δw?2w?δw?2w?δw??D(1??)?{?w?(2?)sin?}?C?n?x?x?x?y?y?2w?δw?2w?δw(2?)cos?}ds?y?y?x?y?x
?δw??w?δw??w?δw??D(1??)?{?2w?[()?()]sin??C?n?x?x?x?x?y?y??w?δw??w?δw[()?()]cos?}ds?y?y?y?y?x?x利用（1-51）、（1-52）式，上式可化为
?2w?δw?3w?1?w??D(1??)?{(?w?2)?(?)δw}ds? 2C?s?s?s?n?n?n?s2?2w1?wD(1??)?(?)δwk （6-85） ??n?s?s?sk?1i将（6-84）、（6-85）式代入（6-82）式中，然后再代入（6-81）式，经过整理后，可得
δ?????D?2?2wδwdxdy??(w?w)δ?ds?
?C?2w?δw(wk?wk)δwk??D[??w?(1??)2]ds? ?C?n?nk?1i2??2w?1?w2{?(s)?D[?w?(1??)]?D(1??)}δwds? 2?C?n?s?s?s?s?2w1?w{?k?D(1??)?(?)k}δwk （6-86） ??n?s??sk?1s?δw由于δ?，δ?k，δw，δwk， ()都是独立的变量，即可得到
?n22（1）??w?0 （在?内） （2）w?w?0 （在C内）
?2w2]?0 （在C内） （3）D[??w?(1??)?n2??2w?1?w2?0 （在C内） [?w?(1??)2]?D(1??)（4）?(s)?D?s?s?s?n?s（5）wk?wk?0(k?1,2,?,i) （在角点k上）
i?2w1?w（6）?k?D(1??)(?)?0 （在角点k上） （6-87）
?n?s?s?s上式中的各式分别表示：（1）为板的平衡方程，即是欧拉方程；（2）为边界已知的约束条件；（3）为边界上弯矩为零的自然边界条件；（4）、（6）分别表示了拉格朗日算子的表达式，这里的?(s)及?k分别代表了边界上的等效剪力和角点反力；（5）为角度上已知的边界条件。
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将（6-87）式中（4）的?(s)及（6）的?k代入（6-80）式，即得
1?2w?2w2?2w?2w?2w2????D{(2?2)?2(1??)[2?()]}dxdy? 2?2?x?y?x?y?x?y*??2w?1?w2 ?D{[?w(1??)2]?(1??)}(w?w)ds?
C?n?s?s?s?s?2w1?wD(1??)?(?)k(w?wk) （6-88） ??n?s?s?sk?1i在利用这个广义变分原理的泛函进行变分时，边界约束条件（6-87）式中的（2），角点
约束条件（6-87）式中的（5）以及（6-87）式中的（4）和（6）都是这个变分的自然边界条件。在近似计算中，这类自然边界条件是可以自动近似满足的。
如果错误地使用拉格朗日乘子法，把原变分泛函中自然能满足的自然边界条件，作为约束边界条件处理时，广义变分的结果可以得到所设的拉格朗日乘子等于零。如果得到这样的结果，则就直接告诉人们，原来认为是附加条件的约束条件，在实质上是原泛函的自然边界条件，所设的拉格朗日乘子是多余的。同时，也说明拉格朗日乘子法具有自动防止错误的能力。
总之，如果所给条件并非原泛函的自然边界条件，则我们就能用待定的拉格朗日乘子把这些条件吸收进入泛函表达式组成为新的泛函，然后通过变分唯一地决定这些乘子的物理意义，这样就确定了包括一切约束条件在内的泛函，这种泛函称为“广义变分问题的泛函”。广义变分原理在实质上就是把有条件的变分泛函通过拉格朗日乘子法化为无条件的泛函变分原理。广义变分的 泛函在变分中得到的自然边界条件，有一部分是原变分原理的自然边界条件，而另一部分就是原变分原理的约束条件。在广义变分中，这些条件都按自然边界条件自然得到满足。
§6.6 三类自变量广义变分原理
类似于二类变量的广义变分原理，也可以推广应用于三类变量的广义变分原理。如果我们取w,kx,ky,kxy,Mx,My,Mxy等七个三类彼此独立的函数，即w为一类，kx,ky,kxy（曲率）第二类，Mx,My,Mxy为第三类，同样也可以构成相应的无条件广义位能或广义余能泛函，其特点与二类广义变分原理类似。
继续考虑前面两节中讨论过问题，对同一块板的弯曲定义两个泛函如下：
?2w?2w?2w?3???[?(2?kx)Mx?2(?kxy)Mxy?(2?ky)My???x?y?x?y
?Mns~U?pw]dxdy??(?Qn)(w?w)ds?C1?C2?s?w?wqwds?M(??)ds?M?C3?C1n?nn?C2?C3n?nds （6-89）
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~?*?[Mk?2Mk?Mk?U?3xyxyyy??xx??Qx?Qy?Mns??p)w]dxdy??(?Qn)wds?
C?C12?x?y?s?Mns(?C3?s?Qn?q)wds??wM?ds?(M?M)?C1nn?C2?C3nn?nds （6-90） ~式中应变能密度U看作是曲率kx,ky,kxy的函数。
(利用恒等式（6-32），可以证明
?3??*3?0 （6-91）
?3称为三类变量广义位能，?*3称为三类变量广义余能，下标“3”表示这类泛函包括
有三类变量（挠度、曲率和内力矩）。
所谓三类变量广义变分原理，是指薄板弯曲问题的精确解，使三类变量广义位能和三类变量广义余能取驻值。即把w,kx,ky,kxy,Mx,My,Mxy七个函数看作是彼此独立无关的函数，并且使它们的变分不受任何限制，那么变分式
δ?3?0 或 δ?*3?0 （6-92）
相当于薄板弯曲问题中的全部方程和边界条件，即曲率与挠度关系（6-6），内力矩与曲率关
系（6-7），平衡方程（6-4），以及边界条件（6-22）、（6-23）、（6-26）。
为了证明上述论断，从?3出发比较方便。对（6-90）取变分，得到
*~~?U?Uδ?*)δkx?(2Mxy?)δkxy?3???[(Mx???kx?kxy~?U(My?)δky]dxdy???[kxδMx?2kxyδMxy?kyδMy??ky??δQx?δQy?Qx?Qy(?)w]dxdy???(??p)δwdxdy??x?y?x?y?(
?δMns?δMns?δQ)wds?(n?C1?C2?s?C3?s?δQn)wds??Mns(?C3?s?Qn?q)δwds??C1?nδMnds??w?δwδMds?(M?M)?C2?C3?nn?C2?C3nn?nds （6-93）
在恒等式（6-32）中把Mx,My,Mxy改为δMx,δMy,δMxy，有
?δQx?δQy?2w?2w???(?x??y)wdxdy????(?x2δMx??y2δMy?2
?δMns?w?wδMxy)dxdy??(?δQn)wds??δMndsCC?n?x?y?s- 99 -
2
将上式代入（6-93）式，经整理后得到
~~~?U?U?Uδ?*)δkx?(2Mxy?)δkxy?(My?)δky]dxdy?3???[(Mx???kx?kxy?ky?2w?2w?2w???[(kx??x2)δMx?2(kxy??x?y)δMxy?(ky??y2)δMy]dxdy?
?Qx?Qy?δMns(??p)δwdxdy?(w?w)(?δQn)ds?????x?y?C1?C2?s?Mns?w(?Q?q)δwds?(n?C3?s?C1?n??n)δMnds??δw(M?M)?C2?C3nn?nds （6-94）
**由此可见，如果w,kx,ky,kxy,Mx,My,Mxy是精确解，可使δ?3?0，反过来，从δ?3?0也可导出薄板弯曲问题的全部方程和边界条件。
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第6章弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理(16K)
