曲 面 与 空 间 曲 线 的 总 结
曲面与空间曲线 一.曲面及其方程：
1.曲面方程的一般概念： 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z) 都满足方程F(x,y,z)=0， 而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的‘图形’。
例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。 解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得
(x?2)2?(y?3)2?(z?1)2?(x?4)2?(y?5)2?(z?6)2
整理得 4x?4y?10z?63?0此即所求点的规迹方程，为一平面方程。
2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ①坐标平面xOy的方程：z=0
②过点（a,b,c)且与xOy面平行的平面方程：z=c
③坐标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程：
①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程：
x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。 例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面
解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22
故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。 4.母线平行于坐标轴的柱面方程：
一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成的轨迹 称为柱面。其中直线l称为柱面的母线，定曲线c称为柱面 的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。 此时有以下结论：
若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面。
分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。
几种常见柱面：x+y=a 平面； x2x2?y2?a2圆柱面 y2?2?1 2ab2x 双曲柱面；
4.旋转曲面：
?2pyx2y2椭圆柱面； 2?2?1ab抛物柱
以上所举例均为母线平行于z轴的情况，其他情况类似。 一般情况下我们将一平面曲线c绕同 一平面内的定直线l旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。其中c称为母线，l称为其轴。 本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此 时有以下结论： 设yOz平面上有一已知曲线c 其方程为f(y,z)=0，将c绕 z轴旋转一周，所得到的以z轴 为轴的放置曲面的方程为：
f(?x?y,z)?0 同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：
22
2
2f(y,?x?z)?02222同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面
f(x,?y?z)?0绕y轴
f(?x?z,y)?0f(x,?y2?z2)?0
以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得曲
例3 求顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为a的圆锥面方程。 解：将yOz面上的直线z=yctg 整理后得：
其中a=ctg
绕z轴旋转一周即得圆锥曲面 z2?a2(x2?y2)z??x2?y2ctg?
二.空间曲线及其方程： 1.空间曲线的一般方程：
空间曲线一般可看作两个曲面的交线，若两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0
和G(x,y,z)=0，则易知其交线c的方程为? F(x,??G(x,y,z)?0y,z)?0
称此方程组为曲线c的一般方程。 例 4：方程组
?x?y?z?5?z?2?222222表示怎样的曲线
解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。
?Z?a?x?y
例 表示怎样曲线? 方程 ?a22a2 ?(x?)?y?() 22?
表示母线平行于Z 轴，准线在xoy面上
半径为1的圆柱面 它们的交线是xoy面上的一个圆，
)2a2a2z?x?y(x?)?y?( 表示中心在原点，半径为1的上半球面 解：
22
22aa (,0)，半径为 其圆心在 22
2.空间曲线的参数方程：
设空间曲线方程如果选定一个适当的函数 x=x（x）代入上述方程组
如果选定一个适当的函数 x=x（x）代入上述方程组 称为空间中曲线的参数方程。
?x?x(t)??y?y(t)?z?z(t)?例 如果空间一点M在圆柱面 x2 +y2 =a2 上以等角速度绕z周旋转，同时，以等速度v沿平行于Z轴的正方向移动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其参数
曲面与空间曲面的总结
