第4讲 不等式
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一、填空题
1．(2024·广东改编)不等式2x－x－1>0的解集是____________________．
x＋1
2．(2024·上海)不等式≤3的解集为____________．
2
x3．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的________条件．
4．不等式x－4>3|x|的解集是____________．
1122
5．已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．
2
xy6．设命题甲：ax＋2ax＋1>0的解集是实数集R；命题乙：0 7．(2024·浙江)若实数x，y满足x＋y＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． 2 2 2 x－y－2≤0，?? 8．设实数x，y满足?x＋2y－4≥0， ??2y－3≤0， 12 9．设a＞b＞0，则a＋＋ 2 y3则当>时，实数x，y满足的不等式组为____________． x7 1 的最小值是________． aba(a－b) 2 10．若关于x的不等式(2x－1) ?1?2 11．若不等式x＋ax＋1≥0对于一切x∈?0，?恒成立，则a的最小值是________． ?2? 12．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是______(写出所有正确命题的序号)． ①ab≤1；②a＋b≤2；③a＋b≥2； 1133 ④a＋b≥3；⑤＋≥2. 2 2 ab二、解答题 13．已知二次函数f(x)＝ax＋x有最小值，不等式f(x)<0的解集为A. (1)求集合A； (2)设集合B＝{x||x＋4| 14.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 22 1312 15．已知函数f(x)＝ax－x＋cx＋d(a，c，d∈R)满足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0 34在R上恒成立． (1)求a，c，d的值； 32b1 (2)若h(x)＝x－bx＋－，解不等式f′(x)＋h(x)<0. 424答 案 ??11 1．(－∞，－)∪(1，＋∞) 2.?x|x≥或x<0? 22?? 3．必要不充分 4．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 5．22 6．必要不充分 3x－7y<0，??23 7. 8.?x＋2y－4≥0， 3 ??2y－3≤09．4 10.? 2 ?25，49? 11．－5 12．①③⑤ ?2?916? 13．解 (1)二次函数f(x)＝ax＋x有最小值，所以，a>0，由f(x)<0， ?1?解得A＝?－，0?. ?a? (2)解得B＝(－a－4，a－4)， 因为集合B是集合A的子集， 1??－≤－a－4， 所以?a??a－4≤0， ?－2－5≤a≤－2＋5，? ?a≤4， 解得0 14．解 设每间虎笼的长、宽分别为x m、y m．则s＝xy. (1)由题意知：4x＋6y＝36， ∴2x＋3y＝18. 又2x＋3y≥26xy， 22 (2x＋3y)1827∴xy≤＝＝， 24242 当且仅当2x＝3y＝9，即x＝4.5，y＝3时，s＝xy最大， ∴每间虎笼的长为4.5 m，宽为3 m时，每间虎笼面积最大． (2)由题意知xy＝24， 4x＋6y≥224·xy＝48， 当且仅当4x＝6y时，取得等号成立． 由??? 4x＝6y?得? 6， ? xy＝24 ??x＝?y＝4， ? ∴每间虎笼的长为6 m，宽为4 m时， 可使钢筋网总长最小． 15．解 (1)∵f(0)＝0，∴d＝0， ∵f′(x)＝ax2 －12x＋c. 又f′(1)＝0，∴a＋c＝1 2. ∵f′(x)≥0在R上恒成立， 即ax2 －12x＋c≥0恒成立， ∴ax2 －112x＋2－a≥0恒成立， 显然当a＝0时，上式不恒成立． ∴a≠0， ?a>0，∴? ??12?(－2 )－4a(1 2－a)≤0， ?a>0，即? ??? a2－12a＋1 16≤0，解得：a＝114，c＝4. (2)∵a＝c＝1 4. ∴f′(x)＝1211 4x－2x＋4 . f′(x)＋h(x)<0，即14 x2－12 x＋14＋34 x2－bx＋b1 2 －4 <0，即x2 －(b＋1b2)x＋2<0， 即(x－b)(x－1 2)<0， 当b>12时，解集为(1 2，b)， 当b<11 2时，解集为(b，2)， 当b＝1 2时，解集为?. ?? a>0，??12 ? (a－4)≤0， 即
【步步高】2024届高考数学二轮复习 专题一 第4讲不等式
