第12章 数项级数
12.1 复习笔记
一、级数的收敛性1 级数的定义 若 存在极限值S，即
，则级数收敛，S为级数的和。若{Sn}发散，则级数发散。
2 重要定理
（1） 级数收敛的柯西准则
∑un收敛??
，?N（N∈N＋），当m＞N时以及对?p（p∈N＋），都有
（2） 如果级数∑un与∑vn都收敛，则对任意常数c，d，级数∑（cun＋dvn）也收敛，且
（3） 改变级数的有限个项不改变级数的敛散性。
（4） 在收敛级数的项中任意加括号，不改变其收敛性与和。
二、正项级数
1 正项级数收敛性的一般判别原则
（1） 正项级数∑un收敛?其部分和数列{Sn}有界。 （2） 比较原则
设∑un和∑vn是两个正项级数，?N（N∈N＋），使得对?n＞N都有un≤vn，则 ① 若∑vn收敛，则∑un也收敛。 ② 若∑un发散，则∑vn也发散。
（3） 设S′＝∑un和S″＝∑vn是两个正项级数，如果
则
① 若0＜l＜＋∞，级数S′、S″同敛散。 ② 若l＝0且级数S″收敛，级数S′也收敛。 ③ 若l＝＋∞且级数S″发散，级数S′也发散。
2 比式判别法和根式判别法
（1） 比式判别法
设∑un为正项级数，且存在正整数N0及常数q（0＜q＜1），则 ① 若对任意n＞N0，都有un＋1/un≤q，则∑un收敛。 ② 若对任意n＞N0，都有un＋1/un≥1，则∑un发散。
（2） 比式判别法的极限形式
若∑un为正项级数，且 ① 若q＜1，则∑un收敛。
，则
② 若q＞1或q＝＋∞，则∑un发散。 ③ 若q＝1，则无法判断∑un的发散性。
（3） 根式判别法
设∑un为正项级数，且存在正整数N0及正常数l， ① 若对任意n＞N0，都有② 若对任意n＞N0，都有
（4） 根式判别法的极限形式
，则∑un收敛。 ，则∑un发散。
设∑un为正项级数，且 ① 若l＜1，则∑un收敛。 ② 若l＞1，则∑un发散。
，则
③ 若l＝1，则无法判断∑un的发散性。
3 积分判别法
设f为[1，＋∞）上非负减函数，那么正项级数∑f（n）与反常积分
同敛散。
三、一般项级数1 交错级数 莱布尼茨判别法
若交错级数满足：① {un}单调递减；②
，则级数收敛。
2 绝对收敛级数及其性质
（1） 若级数∑|un|收敛，则∑un为绝对收敛级数。 （2） 绝对收敛级数的性质
① 绝对收敛级数一定收敛，但反之却一般不成立，原级数收敛而不绝对收敛的情况，称为条件收敛。 ② 级数的重排：设级数∑un绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后所得到的级数也绝对收敛，且有相同的和数。
3 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
（1） 阿贝尔判别法
若{un}为单调有界，且∑vn收敛，则级数∑unvn收敛。
（2） 狄利克雷判别法
若{un}单调递减且un→0，∑vn的部分和数列有界，则级数∑unvn收敛。
华东师范大学数学系数学分析第4版下册知识点总结笔记课后答案
