性质4: 若级数?un和??n分别收敛于S和?,则级数?(un??n)收敛于
n?1n?1n?1???S??.
注1: ?(un??n)称为级数?un与??n的和与差.
n?1n?1n?1???注2: 若级数?un和??n之中有一个收敛,另一个发散,则?(un??n)发散.
n?1n?1n?1???若两个都发散,情况又如何呢?思考.
性质5: 收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和.
注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某n项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的. 注2: 若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如: 1?1?1?1???1?1??是发散的, 但 (1?1)?(1?1)???(1?1)??是收敛的.
注3: 由此知,级数加括号与不加括号时的敛散性是不尽相同的,后面我们要讲它们有相同敛散性时的情况.
??1?n?1[例4] 判别级数??????的敛散性.
n?1???3?(n?1)(n?2)????1?1?解: 因级数???与级数?均收敛,由性质4可知
(n?1)(n?2)3n?1n?1???n??1?n???1?n?11?=+ 收敛. ?????????3(n?1)(n?2)(n?1)(n?2)3n?1??????n?1??n?1?§7.2 常数项级数的审敛法
一、内容要点
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正项级数及其审敛法： 1．正项级数的概念；
2．基本定理：正项级数?un收敛的充分必要条件是：它的部分和数
n?1?列{sn}有界．(证明)
3．比较审敛法：设?un和?vn都是正项级数，且un vn (n = 1, 2, …)．若级数?vn收敛，则级数?un收敛；反之，若级数?un发散，则级数?vn发散．(证明)
n?1?n?1n?1n?1???n?1n?1?? 推论：设?un和?vn都是正项级数，如果级数?vn收敛，且存在自
n?1n?1n?1???然数N，使当n
? N时有un
kvn (k > 0)成立，则级数?un收敛；如
n?1?n?1?果级数?vn发散，且当n N时有un kvn (k > 0)成立，则级数?unn?1发散．
4．比较审敛法的极限形式：设?un和?vn都是正项级数，
?un?l (0?l???)，且级数?vn收敛，则级数?un收敛； (1) 如果lim
n??vn?1n?1n??unun?l?0或lim???，且级数?vn发散，则级数?un (2) 如果limn??vn??vn?1n?1nn??n?1n?1?发散．(证明)
5．比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设?un为正项级数，如果
n?1?limun?1??，
n??unun?1???)时级数发散；
n??un?则当 < 1时级数收敛； > 1(或lim = 1时
级数可能收敛也可能发散．(证明)；
6．根值审敛法(柯西判别法)：设?un为正项级数，如果
n?1limnun??，
n??则当 < 1时级数收敛；
? > 1(或limnun???)时级数发散；
n?? = 1时
级数可能收敛也可能发散．(证明)； 7．极限审敛法：设?un为正项级数，
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(1) 如果limnun?l?0(或limnun???)，则级数?un发散；
n??n??? (2) 如果p>1，而limnpun?l (0?l???)，则级数?un收敛．(证明)
n??n?1?n?1 交错级数及其审敛法: 1．交错级数的概念：
2．莱布尼茨定理：如果交错级数?(?1)n?1un满足条件：
n?1? (1) un un + 1 (n = 1, 2, 3, …)； (2) limun?0
n??则级数收敛，且其和s u1，其余项rn的绝对值明)
绝对收敛与条件收敛：
1. 绝对收敛与条件收敛的概念；
??n?1n?1 rn un + 1． (证
2. 定理：如果级数?un绝对收敛，则级数?un必定收敛．(证明)
一、
教学要求和注意点（略）
前面所讲的常数项级数中,各项均可是正数,负数或零.正项级数是其中一种特殊情况.如果级数中各项是由正数或零组成,这就称该级数为正项级数.同理也有负项级数.而负项级数每一项都乘以?1后即变成正项级数,两者有着一些相仿的性质,正项级数在级数中占有很重要的地位.很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.
设?un为一正项级数, Sn为其部分和.显然部分和序列?Sn?是一个单
n?1?调上升数列.由此不难得下面的定理. 定理: 正项级数?un收敛??Sn?有界.
n?1?证: “?” ?un收敛??Sn?收敛??Sn?有界.
n?1? “?” ?Sn?有界,又?Sn?是一个单调上升数列?limSn存在??un收
n??n?1?敛.
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定理1(比较审敛法) 设
(n?1,2,3,?).那么
1)
?un?1?n与
??n?1?n是两个正项级数,且un??n
如果??n收敛,则?un收敛.
n?1?n?1???2)
如果?un发散,则??n发散.
n?1n?1?? 证: 设Sn和?n分别表示?un和??n的部分和,显然由un??n?Sn??n
n?1n?1(1) ??n收敛??n有界?Sn有界??un也收敛.
n?1?n?1???(2) ?un发散?Sn无界??n无界???n也发散.
n?1n?1推论: 设两个正项级数?un与??n,如果对于n?N(N为某一自然数)的
n?1n?1??n,恒成立不等式un?k?n(k?0的常数),则利用级数的性质及定理1的证
明方法仍可得定理1的结论. [例1]: 讨论p-级数 1?111??????的敛散性.其中常数p?0. 2p3pnp??1111111解 (1) 当p?1时,因p?,而?发散, ??p=1?p?p???p??nn23nn?1nn?1n发散
(2) 当p?1时,对于任意实数x?[1,??),总存在自然数k,使得
k?1?x?k (k?2,3,?),因此
kk11111??dx?dx (k?2,3,?), , ?ppppp??k?1k?1kxkkx111于是 Sn=1?p?p???p
23n2131n1 ?1??pdx??pdx????pdx
1x2xn?1x第 9 页
=1??n11?n1?p111?1?=<. dxp?1p?1xpn??这表明Sn有上界,又?Sn?单调上升,故limSn存在?p-级数
1?111??????收敛. 2p3pnp 综上所述,当p?1时, p-级数发散;当p?1时p-级数收敛.
?aan[例2] 若正项级数?an收敛,则 (1) ?收敛, (2)?n收敛,
n?11?ann?1n?1n??2(3)?an收敛.
n?1??anan??an, 由于正项级数?an收敛,则由比较审敛法, 知证: (1)由
1?an1?0n?1??1?an?1an收敛
n?an11112?[(an)?2]?(an?2), 由于正项级数?an (2)n2n2nn?1?a1收敛,?2收敛,则?n收敛,
n?1nn?1n??2?an, (3)由于?an收敛,则liman?0,则?N,当n?N时,an?1,从而ann?1n??2则由比较审敛法,则?an收敛.
n?1?比较审敛法的极限形式: 设两个正项级数?un与??n,如果存在极
n?1n?1??限:limunn???n?l
??(1) 当0?l???,则级数
?un?1n与??n同时收敛或同时发散.
n?1?(2) 当l?0时,如果
??n?1?n收敛,则级数?un必收敛.
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微积分第七章无穷级数共30页文档
