第七章 无穷级数
一、本章的教学目标及基本要求：
（1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握
级数的基本性质和收敛的必要条件。
（2） （3）
掌握几何级数与p—级数的收敛性。
会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 会用交错级数的莱布尼茨定理。
了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
掌握函数ex,sinx,cosx,ln(1?x),(1?x)?的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在[?l,l]上的函数展开成傅氏级数，会将定义在[0,l]上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。
（4） （5）
（6） （7） （8）
（9） （10）
（11）
二、本章教学内容的重点和难点：
重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法．
难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开．
§7.1 常数项级数的概念及性质
一、内容要点
1、常数项级数概念：
常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；
2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数?un收敛于和s，则级数?kun也收敛，且其和为
n?1n?1??ks．(证明)
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性质2：若级数?un、?vn分别收敛于和s、，则级数??un?vn?n?1n?1n?1???也收敛，且其和为s±．(证明)
性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明)
性质4：若级数?un收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数
n?1?仍收敛，且其和不变．(证明)；
性质5(级数收敛的必要条件)：若级数?un收敛，则它的一般项unn?1?趋于零，即limun?0．(证明)；
n??一、概念
定义:设已给定数列u1,u2,…, un…,称形式加法u1+u2+…+un+…为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为
?un?1?n, 即
?un?1?n=u1+u2+…+un+…, 其中称un为一般项.
将其前n项的和: Sn=u1+u2+…+un称为级数的前n项的部分和,或简
称部分和.
注1: 由上我们便得到一个数列S1,S2,…, Sn,…,从形式上不难知道
?un?1?n=limSn,以前我们学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收
n??敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?
定义: 当n??时,若部分和数列?Sn?有极限S,即 S=limSn,就称常
n??数项级数?un收敛,且称S为其和,并记为: S=u1+u2+…+un+… , 若数
n?1?列?Sn?没有极限,就称?un发散.
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注1: 当级数收敛时,其部分和Sn又可看成为S的近似值. 两者之差
rn?S?Sn=un?1+un?2+… 称为级数?un的余项.用Sn代替S所产生的误差
n?1?就是它的绝对值,即 rn.
注2: 到目前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数?un的
n?1?收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列?Sn?的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设?Sn?为一数列,令u1=S1,u2=S2?S1,…,un=Sn?Sn?1, n?1,2?, 则
?uk?1nk?Sn 这样就由一数列产生一个级数.可见数列与级数可以相互转化.
[例1] 讨论一个简单级数―几何级数(等比级
数):a?aq?aq2???aqn?1??的敛散性.其中a?0 解: 我们先考虑其部分和: Sn=a?aq?aq2???aqn?1
a(1?qn) 利用中学知识,得 Sn= (q?1时)
1?q(I)
1?qna当q?1时,由于 limSn=lima=, 故几何级数收敛,
n??n??1?q1?q且收敛于
a. 1?q(II)
1?qn当q?1时,由于limSn=lima不存在,故此时几何级数发
n??n??1?q散.
(III)
当q?1时,此时几何级数为:
a?a?a???a?,?Sn=na??(n??)此时级数发散.
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(IV)
当q??1时,级数为a?a?a?a?,?Sn=[1?(?1)n?1]a, limSnn??不存在.故此时级数发散.
? 综上所述,几何级数在q?1时收敛,在q?1时发散.
[例2] 证明级数
11?3?12?4?13?5??1n(n?2)??收敛. 证: 首先,由于
11?1n(n?2)?2??n?1?n?2?? ? S111n=
11?3?2?4?3?5??n(n?2)
=1?11?11?1?11?1?11?2??1?3??+?2?1?2?4??+2??3?5??+…+2??n?n?2?? =1?1111111?2??(1?2?3???n)?(3?4?5???n?2)?? =1?111?1132??1?2?n?1?n?2?? ?2(1?2)=4 ? 原级数收敛,且收敛于34.
[例3] 证明调和级数1?1?1???123n??发散. 证: S111n=1?2?3???n
=?21n?1dx+?322dx+…+?11nndx ??2131n?111xdx+?2xdx+…+?nxdx
=?n?11?11xdx=lnxnn=ln(n?1) 当n??时,Sn??.显然limn??Sn不存在. 故原级数发散.
一、性质
性质1: (收敛的必要条件) 收敛的级数的一般项极限为0.即第 4 页
??un收敛,
n?1 则limun?0.
n??证: 设?un收敛于S. 即limSn=S.
n?1?n?? limun?lim(Sn?Sn?)?limSn?limSn?1?S?S?0
n??n??n??n??注1: 若反之,则不一定成立.即limun?0, 原级数?un不一定收敛. 如调
n??n?1?和级数?发散,但lim1n?1n?1?0. n??n?注2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若limun?0,则原级数?unn??n?1一定不收敛.
性质2: 在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变.
证: u1+u2+…+un+…的部分和序列为?Sn? uk?1+uk?2+…+uk?n+…的部分和序列为??n?.
则 ?n?Sk?n?Sk, 由于k为有限数,则Sk为一个有限数. 则 lim?n与limSk?n同敛散.
n??n??若原级数收敛,则limSk?n=limSn=S. 则??n?收敛. 即
n??n??uk?1+uk?2+…+uk?n+…收敛
若原级数发散,则limSn不存在, 故lim?n也不存在. 则??n?发散. 即
n??n??uk?1+uk?2+…+uk?n+…发散.
性质3: 若级数?un收敛于S,则它的各项都乘以一常数k所得的级数
n?1??kun?1?n收敛于kS.即?kun=kn?1??un?1?n
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