九年级数学竞赛讲座：走进追问求根公式
形如ax2?bx?c?0（a?0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法． 求根公式x1,2?b?b2?4ac?2a内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答
了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法． 【例题求解】
【例1】满足(n2?n?1)n?2?1的整数n有 个．
思路点拨 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程．
【例2】设x1、x2是二次方程x2?x?3?0的两个根，那么x13?4x22?19的值等于（ ）
A． 一4 B．8 C．6 D．0
思路点拨 求出x1、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如x12?3?x1，x22?3?x2．
【例3】 解关于x的方程(a?1)x2?2ax?a?0．
思路点拨 因不知晓原方程的类型，故需分a?1?0及a?1?0两种情况讨论．
【例4】 设方程x2?2x?1?4?0，求满足该方程的所有根之和．
思路点拨 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解．
【例5】 已知实数a、b、c、d互不相等，且a??b??c?
思路点拨 运用连等式，通过迭代把b、c、d用a的代数式表示，由解方程求得x的值．
注： 一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程ax2?bx?c?0（a?0）直接作零值多项式代换； (2)把方程ax2?bx?c?0（a?0）变形为ax2??bx?c，代换后降次；
(3)把方程ax2?bx?c?0（a?0）变形为ax2?bx??c或ax2?c??bx，代换后使之转化关系或整体地消去x．
解合字母系数方程ax2?bx?c?0时，在未指明方程类型时，应分a?0及a?0两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如x2?x2?x2．
学历训练
1．已知a、b是实数，且2a?6?b?2?0，那么关于x的方程(a?2)x2?b2x?a?1的根为 ．
(x?1)3?x2?12．已知x?3x?2?0，那么代数式的值是 ．
x?121b1c11?d??x， 试求x的值． da
3．若x2?xy?y?14，y2?xy?x?28，则x?y的值为 ．
4．若两个方程x2?ax?b?0和x2?bx?a?0只有一个公共根，则( ) A．a?b B．a?b?0 C．a?b?1 D．a?b??1 5．当分式
1?x2?3x?4有意义时，x的取值范围是( )
A．x??1 B．x?4 C．?1?x?4 D．x??1且x?4 6．方程(x?1)x?1?xx?1?0的实根的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 7．解下列关于x的方程：
(1)(m?1)x2?(2m?1)x?m?3?0；
(2)x2?x?1?0； (3)x2?4x?5?6?2x．
8．已知x2?2x?2?0，求代数式(x?1)2?(x?3)(x?3)?(x?3)(x?1)的值．
9．是否存在某个实数m，使得方程x2?mx?2?0和x2?2x?m?0有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．
注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口． 10．若x2?5x?1?0，则2x2?9x?3?5x2?1＝ ．
11．已知m、n是有理数，方程x2?mx?n?0有一个根是5?2，则m?n的值为 ． 12．已知a是方程x2?x?2000?0的一个正根。则代数式3?2000的值为 ． 20001?20001?a13．对于方程x2?2x?2?m，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于( )
A．1 n．2 C．3 D．2．5 14．自然数n满足(n2?2n?2)n2?47?(n2?2n?2)16n?16，这样的n的个数是( )
A．2 B．1 C．3 D．4 15．已知a、b都是负实数，且??1a1b1b，那么的值是( )
a?b?0a
A．
5?11?5?1?5?1?5 B． C． D．
2222x4?6x3?2x2?18x?23x?8x?15216．已知x?19?83，求的值．
20．如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=nS矩形PQRS，其中n为不小于3的自然数．求证：
BSAB需为无理数．
参考答案
九年级数学竞赛讲座：走进追问求根公式
