4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题.
知识点 正弦、余弦函数的性质
思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？
答案 设任意角x的终边与单位圆交于点P(cos x，sin x)，当自变量x变化时，点P的横坐标是cos x，|cos x|≤1，纵坐标是sin x，|sin x|≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.
思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是增加的？
答案 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间
?2kπ－π，2kπ＋π?(k∈Z)上是增加的. ?22???
梳理 正弦、余弦函数的性质
定义域 值域 最小值 正弦函数(y＝sin x) R [－1，1] π当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 2π当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1 2余弦函数(y＝cos x) 当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1 最大值 周期性 周期函数，最小正周期为2π π?π?在区间?－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z上是增2?2?在区间[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上是减少的； 单调性 加的； 在区间?在区间[π＋2kπ，2π＋2kπ]，?π＋2kπ，3π＋2kπ?，k∈Z上是减少?2?2?k∈Z上是增加的 的
1.正弦函数在定义域上是单调函数.( × )
提示 正弦函数不是定义域上的单调函数. 2.正弦函数在第一象限是增函数.( × )
5ππ?5π?提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－<，但sin?－?＝sin 36?3?π3π1π?5π?＝，sin ＝，sin?－?>sin .
32626?3?3.存在实数x，使得cos x＝2.( × ) 提示 余弦函数最大值为1.
4.余弦函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数.( √ ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确.
类型一 正弦、余弦函数的定义域 例1 求下列函数的定义域. (1)y＝2sin x－3； (2)y＝lg?sin x－
?
?2?
?＋1－2cos x. 2?
考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 解 (1)自变量x应满足2sin x－3≥0， 即sin x≥
3. 2
??π2π?图中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即?x?2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z
33???
??
?. ??
1－2cos x≥0，??
(2)由题意知，自变量x应满足不等式组?2
sin x－>0，?2?
1
cos x≤，?2?即?
2
sin x>.??2
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
???π3π
∴?x?2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z
34???
??
?. ??
反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制. (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.
跟踪训练1 函数y＝2sin x＋1的定义域为 . 考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 7π?π?答案 ?－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z
6?6?解析 要使2sin x＋1有意义， 则必须满足2sin x＋1≥0，
1
即sin x≥－，
2
7π?π?结合单位圆，知x的取值范围是?－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z. 6?6?类型二 正弦、余弦函数的值域与最值
5π??π
例2 (1)求函数y＝cos x?－≤x≤?的值域.
6??3
2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学案 北师大版必修4
