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圆锥曲线的极坐标方程
知识点精析
椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点 ( 焦点 ) 的距离和一条定直线 ( 准线 ) 的
距离的比等于常数 e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点 ( 双曲线的右焦点、抛物线的焦点 ) 为极点，过点 F 作相应准线的垂线， 垂足为 K，
ep 1 ecos
以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．
椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： .
其中 p 是定点 F 到定直线的距离， p＞0 ．
当 0＜e＜1 时，方程表示椭圆；
当 e＞1 时，方程表示双曲线，若 ρ ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许个双曲线；
当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线 .
引论（ 1）若ep
1+e cos
则 0＜e＜1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线
当 e＞1 方程表示极点在左焦点上的双曲线
（2 ）若ep
1-esin
当 0＜ e＜ 1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆当 e=1 时，方程表示开口向上的抛物线
当 e＞ 1 时! 方程表示极点在上焦点的双曲线
（3）ep
1+esin
当 0＜ e＜ 1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆
ρ0，方程就表示整
＜
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当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线
当 e＞ 1 时! 方程表示极点在下焦点的双曲线
（2）圆锥曲线弦长问题
若圆锥曲线的弦 MN经过焦点 F，
1、椭圆中， p
a c
2
c
b ， MN c
2
ep 1 ecos
ep
1 ecos(
2
2ab2
2
2
.
) a c cos
2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。 若 M、N 在双曲线同一支上， MN
）
ep 1 ecos
ep 1 ecos
p
ep
1 ecos(
2ab2
；
) a2
c2 cos2
若 M、N 在双曲线不同支上， MN
ep
2ab2 c2 cos2
.
1 ecos
2 p
a2
3、抛物线中， MN
p 1
cos
1 cos( ) sin
2
1的右焦点，引倾斜角
例 1 过双曲线 x 2 y2 为
-
的直线，交双曲线与
A、B 两点，求
｜AB｜
4 5
3
解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系
5
即得
2
3cos
所以 A( 1,
),B( 2, 3
1
2
) 3
)
又由AB |
得
2 3cos
|
|
5
5
2 3cos(
3
80 | 7
3
注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，
点睛由于椭圆 , 抛物线的弦的两个端点极径均为正值
, 所以弦长都是 ; 对于两个端
点都1在双2曲线右支上的弦 对于两个端点分
1
2
, 其端点极径均为正值 , 所以弦长也是 ;
或
别在双曲线左、右支上的弦 , 其端点极径一个为正值一个为负值
, 所以弦长是 -
为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用
1
- 1 2
2
变式练习：等轴双曲线长轴为 2，过其右有焦点，引倾斜角为
的直线，交双曲线于 A,B
6
两点，求 AB
求｜AB｜
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good
