上述讨论说明x图采用小样本是合理的。虽然小样本的β风险较大，但由于我们周期地抽取样本并检验和在x图上描点,所以非常可能在抽取合理的样本个数后就可检出过程的偏移。此外,还可采取增添警戒限和界内点非随机排列的判定准则来提高x图检出过程偏移的能力。 2) R图的检定能力和OC曲线。为了构造R图的仅OC曲线需要用到W=R/σ的分布。设 过程标准差从处于稳定状态的σ偏移到
σ=K11σ(>σ),则R图的OC曲线(见图3.5.3-7)给出了此偏
移未被第一个样本检出的概率,即β值。
从图3.5.3-7图中曲线可见,当样本大小n增加时,β值减小,R图的检定能力提高,这点同x图的情况相同。但有一点是不同的,即x图对σ的变化有一定的检定能力,但R图对μ的变化却没有检定能力,也即若σ不变而μ变化,不能在R图上反映出来。另外,当采用小样本时, 例如n=4,5或6时,R图对检出过程的偏移不是很有效。这时可采用前述增加控制图灵敏度的措施。若样本大小n>10或12时,一般应采用s图来代替R图。
3) x一R图的检定能力。分析了x图和R图的检定能力,现在来分析x图和R图同时使用时的总检定能力。在样本大小n较小时, x一R图未能检出过程偏移的概率等于它们个别未能检出过程偏移的概率的乘积。设βx为x图未能检出偏移的概率, βR为R图未能检出偏移的概率βR为x一R图未能检出偏移的概率,则有
βT=βx·βR
例如,当n=4时,可以算得x一R图的命值如表所示。对于不同的n可能算出不同的βT值。
由表x一R图的β值（n=4）中数据可见,同时应用x图和R图的检定能力比单独使用x图或R图 的检定能力大。
四、x-s(均值-标准差)控制图
若样本大小n较大,例如n>10或12,这时用极差法估计过程标准差的效率较低。最好在x—R中用s图代替R图。
σ为一概率分布的未知方差,则样本方差 若
12 s=n?122?(xi?x)i?1n2
σ的无偏估计量,但样本标准差s并非是σ的无偏估计量。若样本取自正态总体,可以证明为
1?c42σ=σ
s,这里
c4为一与样本大小n有关的常数。
现在,我们考虑。已知的情况,由于E(s)= 为
UCL= CL= LCL=定义
c4σ,故s图中的中心线为
c4σ,于是s图的控制线
ccc4σ+3σ
1?c42
4σ （5.4-1）
4σ-3σ
1?c42
B=c5
4-3
1?c41?c422 （5.4-2） （5.4-3）
B=c6
4+3
则代如上式后，得到已知的图的控制线为 UCL= CL= LCL=
BcB
6
σ
4σ （5.4-4）
5
σ
式中,系数B5、B6可自附录V表A一5查得。
若σ未知,则必须根据以往的数据进行估计。从E(s)=
c4σ,有
σ=s/C4,这里
1 s=m?sii?1m （5.4-5）
于是得到。未知情况的s图的控制线为
s UCL=s+3
c41?c42
CL=s （5.4-6）
s UCL=s-3定义
c41?c42
1
BB
3
=1-3
cc41?c41?c422 （5.4-7）
1
4
=1+3
4 （5.4-8）
由此得到σ未知情况的s图的控制线为 UCL=
BB
4
s
CL=s LCL=
3
s
式中,系数B3、B4可从附录V查得。
在应用x-s图时,相应的正图的控制界限也需要应用s/C4来估计σ，于是这时x图的控制线为
3s UCL=x+
c4n
CL=x
3s LCL=x-令
c34n
则x图的控制线可写成
A=c43
n
UCL=x+ CL=x LCL=x-式中，系数A3可从附录Ⅴ查得。
五、Xmed-R(中位数-极差)控制图
AA
3
s
3
s
Xmed-R图与x-R图相似,只不过用Xmed (中位数)图代替x图而已。若样本取自正态总体, x为样本中位数,m个样本的样本平均中位数为
1 x=m可以证明E(x)=μ。σx=
?Χmedii?1m
m3σ/
n。这里,m3为一与样本大小n有关的常数。于是μ=xmed,由 此
得σ已知情况的x图的控制线为 UCL=χmed+3 CL=χmed LCL=χmed-3式中,系数
mm3σ/
n
3σ/
n
m3可从附录V查得。若σ未知,则需应用估计量R/d2。代人上式后,得σ未知情况的Xmed
图的控制线为
UCL=χmed+3 CL=χmed LCL=χmed-3当n=5,从附录V可查得
mm3Rσ/d2n=χmed+m3AA
2
R
3Rσ/d2n=χmed-m32
R
m3=1.198,所以
Xmed图的控制界限间隔要比x图的约宽20%,从而Xmed图
检出过程偏移的能力也要比x图减低不少。
六、x-Rs(单值-移动极差)控制图
现在样本大小为1,所以对过程标准差σ的估计要通过相邻两个样本间的移动极差Rs来进行。设从过程抽取的样本为
x,i=1,2,...,n,则移动极差定义为
i Rsi=|而平均移动极差为
x一xit?1|, i=1,2,...,n-1
1 Rsi=n?1?Ri?1n?1si
24π2?σπ,于是σ=2σRs= 若样本取自正在总体,可以证明E(Rs)= πσ,
的情况,x图的控制线为
UCL=x+3σ CL=x UCL=x-3σ 而Rs图的控制线为
R。对于σ已知
s242?σπ=3.69σ UCL=πσ+32 CL=πσ
242?σπ=0 LCL=πσ-3
式中LCL为负值,但Rs不可能为负,故取LCL=0作为Rs的自然下界。 对于σ未知的情况,x图的控制线为
πUCL=x+32 CL=x
R=x+2.66R
ssπ LCL=x-32而Rs图的控制线为
R=x-2.66R
ss
统计过程控制(SPC)与休哈特控制图完整版
