第三节 机械能守恒定律
一、机械能 1．重力势能
(1)定义：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。 (2)表达式：____________。
(3)矢标性：重力势能是标量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在参考平面大还是小。
(4)重力势能的特点：
①系统性：重力势能是__________所共有的。 ②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。
(5)重力做功与重力势能变化的关系： ____________。 2．弹性势能
(1)定义：发生________的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。 (2)大小：与形变量及________有关。 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能___________；弹力做负功，弹性势能___________。 二、机械能守恒定律 1．内容
在只有_______________做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2．机械能守恒的条件 只有重力或弹力做功。 3．对守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒。
(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功。例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒。
4．机械能守恒的三种表达式 表达角度 表达公式 表达意义 ______________________________系统的初状态机械能的总和与末状态守恒观点 ______________________________ 机械能的总和相等 表示系统(或物体)机械能守恒时，系______________________________转化观点 统减少(或增加)的重力势能等于系统______________________________ 增加(或减少)的动能 转移观点 ______________________________若系统由A、B两部分组成，则A部分______________________________物体机械能的增加量与B部分物体机______________________________ 械能的减少量相等
1. 伽利略曾设计如图所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点。如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点。这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小( )
1
A．只与斜面的倾角有关 B．只与斜面的长度有关 C．只与下滑的高度有关 D．只与物体的质量有关
2．(2012·湖北武汉调研)置于水平地面上的一门大炮，斜向上发射一枚炮弹。假设空气阻力可以忽略，炮弹可以视为质点，则( )
A．炮弹在上升阶段，重力势能一直增大 B．炮弹在空中运动的过程中，动能一直增大
C．炮弹在空中运动的过程中，重力的功率一直增大 D．炮弹在空中运动的过程中，机械能不守恒 3.(2013·四川自贡一诊)如图所示，一直角斜面体固定在水平地面上，左侧斜面倾角为60°，右侧斜面倾角为30°，A、B两个物体分别系于一根跨过定滑轮的轻绳两端且分别置于斜面上，两物体下边缘位于同一高度且处于平衡状态，不考虑所有的摩擦，滑轮两边的轻绳都平行于斜面。若剪断轻绳，让物体从静止开始沿斜面滑下，下列叙述错误的是( )
A．着地瞬间两物体的速度大小相等 B．着地瞬间两物体的机械能相等
C．着地瞬间两物体所受重力的功率相等 D．两物体的质量之比为mA∶mB＝1∶3 4．易错辨析
请你判断下列表述正确与否，对不正确的，请予以更正。
(1)物体所受的除重力和弹簧弹力外的其他力虽然做功，但其他力做的总功为零，系统机械能仍然守恒。
(2)对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等问题，除非特别说明，机械能必定不守恒；完全非弹性碰撞过程机械能不守恒。
(3)通过轻绳或轻杆连接的两个物体，不能只注意到轻绳或轻杆对一个物体做功，而断定系统机械能不守恒。
(4)机械能守恒是指始末两个状态机械能的总量保持不变。
一、对机械能守恒条件的理解
自主探究1一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点。下列说法不正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加 C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒 D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
思考1：运动员下落过程中，重力做什么功？重力做功与重力势能有什么关系？ 思考2：弹力做功与弹性势能有什么关系？ 思考3：运动员下落过程中，其机械能守恒吗？
思考4：重力势能的改变与零势能面的选取有关吗？ 归纳要点
机械能是否守恒的判断方法
(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：机械能包括动能、重力势能和弹性势能，判断
2
机械能是否守恒可以看物体或系统机械能的总和是否变化。
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。
(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。
(4)对多个物体组成的系统，除考虑是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因有摩擦热产生，系统机械能将有损失。
二、机械能守恒定律三种表达形式的理解
自主探究2(2012·山东青岛一模)如图所示，光滑固定的竖直杆上套有小物块a，不可伸长的轻质细绳通过大小可忽略的定滑轮连接物块a和小物块b，虚线cd水平。现由静止释放两物块，物块a从图示位置上升，并恰好能到达c处。在此过程中，若不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是( )
A．物块a到达c点时加速度为零
B．绳拉力对物块a做的功等于物块a重力势能的增加量 C．绳拉力对物块b先做负功后做正功
D．绳拉力对物块b做的功等于物块b重力势能的减少量 思考1：a物块到达c点时受几个力的作用？
思考2：绳拉力对两物块分别做什么功？两物块机械能如何变化？ 归纳要点
1．守恒形式：E2＝E1或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，表示系统初状态的机械能等于其末状态的机械能。当系统除地球外，只有单个物体，且初、末状态的高度已知时，用这种表达形式较方便。运用时，应选好零势能面。
2．增量(或转化)形式：ΔEp＝－ΔEk，表示系统减少(或增加)的势能等于增加(或减少)的总动能。一般用于始末状态的高度未知，但高度变化已知的情况。应用时，无需选择零势能面。
3．转移形式：ΔEA增＝ΔEB减，表示若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等。
以上三种表达方式中，守恒形式是最基本的表达方式，易于理解和掌握，但应用时始末状态的动能和势能要分析全，防止遗漏某种形式的机械能。应用增量或转移形式列出的方程简洁，是同学们应该重点掌握的，但在分析势能的变化时易出错，要引起注意。
命题研究一、单一物体机械能守恒
【题例1】在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，相应的曲线方程为y＝
2??－1
2.5cos?kx＋π?(单位：m)，式中k＝1 m。将光滑小环套在该金属杆上，并从x＝0处以
3??
π
v0＝5 m/s的初速度沿杆向下运动，取重力加速度g＝10 m/s2。则当小环运动到x＝ m时
3
的速度大小v＝________ m/s；该小环在x轴方向最远能运动到x＝________ m处。
3
思路点拨：小环沿光滑曲杆运动过程中，只有重力做功，故机械能守恒，由曲线方程可判断小环的初、末位置。从而确定初、末状态的机械能，列守恒方程可求有关物理量。
解题要点：
规律总结
应用机械能守恒定律的基本思路 (1)选取研究对象——物体或系统。
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。 (3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。 (4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB)进行求解。
命题研究二、多个物体组成的系统机械能守恒
【题例2】 如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h。两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小； (2)整个运动过程中杆对A球所做的功。
思路点拨：将A、B两球看成一个系统，利用机械能守恒 定律可解决。 解题要点： 规律总结
(1)由于多物体组成的系统中各物体的运动过程比较复杂，故从能量转化的角度研究问题比较方便，但要弄清各过程中各物体间的能量转化情况。列方程时，切记不要遗漏某个物体的动能或势能。
(2)解决此类问题的另一关键是弄清物体之间的速度关系，如用轻绳、轻杆连接的物体，沿绳或杆方向上的速度相等。
1．(2012·上海虹口质检)图(a)中弹丸以一定的初始速度在光滑碗内做复杂的曲线运动，图(b)中的运动员在蹦床上越跳越高。下列说法中正确的是( )
A．图(a)弹丸在上升的过程中，机械能逐渐增大 B．图(a)弹丸在上升的过程中，机械能逐渐减小 C．图(b)中的运动员多次跳跃后，机械能增大 D．图(b)中的运动员多次跳跃后，机械能不变
2.(2012·浙江宁波期末)如图所示，竖立在水平地面上的轻弹簧，下端固定在地面上，将一个金属球放置在弹簧顶端，并向下压球，使弹簧压缩，用细线把弹簧拴牢，如图(a)所示；烧断细线，球将被弹起，且脱离弹簧后能继续向上运动，如图(b)所示；忽略空气阻力，从细线被烧断到刚脱离弹簧的运动过程中错误的是( )
4
A．球的动能在刚脱离弹簧时最大
B．球刚脱离弹簧时弹簧的弹性势能最小 C．球受到的合力最大值大于小球的重力 D．球和弹簧组成系统的机械能不变 3.(2013·沈阳二中测试)如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A静止于光滑水平桌面上，右端接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时用手托住B，让细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析不正确的是( )
A．B物体的机械能一直减小
B．B物体的动能的增加量等于它所受重力与拉力做的功之和 C．B物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的增加量
D．细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量
4．一质量为50 kg的男孩在距离河流40 m高的桥上做“蹦极跳”，原长长度为14 m的弹性绳AB一端系着他的双脚，另一端则固定在桥上的A点，如图(a)所示，然后男孩从桥面下坠直至贴近水面的最低点D。男孩的速率v跟下坠的距离h的变化关系如图(b)所示，假定绳在整个运动过程中遵守胡克定律(不考虑空气阻力、男孩的大小和绳的质量，g取10 2
m/s)。求：
(1)当男孩在D点时，绳所储存的弹性势能； (2)绳的劲度系数；
(3)讨论男孩在AB、BC和CD期间运动时作用于男孩的力的情况。
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【志鸿优化设计】(重庆专用)2014届高考物理第一轮复习 (梳理自测+理解深化+巩固提升)第五章功和能 机械
