2020学年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 一元二次不等式的解法

第2课时 一元二次不等式的解法的应用

【基础练习】

1．若不等式kx＋2kx＋2＜0的解集为空集，则实数k的取值范围是( ) A．(0,2) C．[0,2] 【答案】C

【解析】当k＝0时，满足题意；当k＞0时，Δ＝4k－8k≤0，解得0＜k≤2.∴实数k的取值范围是[0,2]．故选C．

2．关于x的不等式x－(a＋a)x＋a＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)且x2－x1＝12，则a＝( ) A．4 C．3或4 【答案】A

【解析】∵x－(a＋a)x＋a＜0?(x－a)(x－a)＜0的解集为(x1，x2)，a＞0，∴当0＜a＜1时，x2＝a，x1＝a，x2－x1＝a－a＝12，方程无解；当a＞1时，x1＝a，x2＝a，x2－x1＝

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B．[0,2) D．(2，＋∞)

B．3 D．6

a2－a＝12，解得a＝4，a＝－3(舍去)．故选A．

3．(2019年广东佛山期末)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价每提高1元，销售量就要减少10件．要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )

A．12元 C．10元到14元之间 【答案】D

【解析】设销售价定为每件x元，利润为y元，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]．依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，即x－28x＋192<0，解得12

4．已知关于x的不等式x－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有( ) A．m≤－3 C．－3≤m＜0 【答案】A

【解析】令f(x)＝x－4x＝(x－2)－4，因为f(x)在(0,1]上为减函数，所以当x＝1时，

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2

2

2

B．16元

D．12元到16元之间

B．m≥－3 D．m≥－4

f(x)取最小值－3.所以m≤－3.

5．(2019年山东济南模拟)若关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，则关于x的

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不等式

ax＋b>0的解集为________． x－2

【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)

【解析】因为关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，所以a>0，且＝1，即a＝

baax＋bx＋1

b.所以关于x的不等式>0可化为>0，其解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

x－2x－2

6．(2017年辽宁抚顺期末)关于x的不等式(a－1)x－(a－1)x－1＜0的解集是R，则实数a的取值范围是________．

2

2

?3?【答案】?－，1?

?5?

【解析】设函数f(x)＝(a－1)x－(a－1)x－1.由题设条件关于x的不等式(a－1)x－(a－1)x－1＜0的解集为R，可得对任意的x∈R，都有f(x)＜0.又当a≠1时，函数f(x)是关于

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2

2

2

x的抛物线，故抛物线必开口向下，且与x轴无交点，故需满足

?a－1＜0，????Δ＝a－1

2

2

＋4a－1＜0，

2

3

解得－＜a＜1.当a＝1时，f(x)＝－1＜0恒成立．综

5

?3?上，a的取值范围为?－，1?. ?5?

7．解下列不等式： 2x－1(1)＞0； 3x＋1(2)

axx＋1

＜0.

【解析】(1)原不等式等价于(2x－1)(3x＋1)＞0， 11

∴x＜－或x＞. 32

??11?故原不等式的解集为?x?x＜－或x＞

32???

??

?. ??

(2)

axx＋1

＜0?ax(x＋1)＜0.

当a＞0时，ax(x＋1)＜0?x(x＋1)＜0?－1＜x＜0， ∴解集为{x|－1＜x＜0}； 当a＝0时，原不等式的解集为?；

当a＜0时，ax(x＋1)＜0?x(x＋1)＞0?x＞0或x＜－1，∴解集为{x|x＞0或x＜－1}． 8．当a为何值时，不等式(a－1)x＋(a－1)x－1＜0的解集是R? 【解析】由a－1＝0，得a＝±1. 当a＝1时，原不等式化为－1＜0恒成立，

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2

2

2

∴当a＝1时，满足题意．

当a＝－1时，原不等式化为－2x－1＜0，

1

∴x＞－，∴当a＝－1时，不满足题意，故a≠－1.

2当a≠±1时，由题意，得

??a－1<0，?

?Δ＝a－1?

2

2

＋4a－1<0，

2

3

解得－＜a＜1.

5

3??－，1?. 综上可知，实数a的取值范围是?

?5?

【能力提升】

9．对于任意实数x，不等式(a－2)x－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围为( )

A．(－∞，2) C．(－2,2) 【答案】D

【解析】a－2＝0，即a＝2时，－4＜0，恒成立；a－2≠0时，

??a－2＜0，?2

?4a－2＋16?

2

B．(－∞，2] D．(－2,2]

a－2＜0，

解得－2＜a＜2，∴－2＜a≤2.故选D．

10．定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为区间右端点的值减去左端点的值，区间[a，b]，[a，b)，(a，b]，(a，b)的区间长度都是b－a.若关于x的不等式x－x－6a<0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长度，则实数a的取值范围是( )

2

?1?A．?－，1?

?24?

C．(0,1] 【答案】A

1??B．?－∞，－?∪[1，＋∞) 24??D．[－24,1)

122

【解析】∵关于x的不等式x－x－6a<0有解，∴Δ＝1＋24a>0，即a>－.设方程x－

24

x－6a＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝1，x1x2＝－6a.又|x1－x2|≤5，即

x1＋x2

2

x1－x2

2

＝

－4x1x2＝1＋24a≤5，解得a≤1.故选A．

2

2

11．已知函数y＝(m＋4m－5)x＋4(1－m)x＋3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数

m的取值范围是________．

【答案】[1,19)

【解析】(1)当m＋4m－5＝0时，m＝－5或m＝1.若m＝－5，则函数化为y＝24x＋3，对任意实数x不恒大于0.若m＝1，则y＝3＞0恒成立．

(2)当m＋4m－5≠0时，据题意应有

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2

2

??m＋4m－5＞0，?2

?161－m－12?

??m＜－5或m＞1，∴?

?1＜m＜19，?

2

m2＋4m－5＜0，

∴1＜m＜19. 综上可知，1≤m＜19.

12．已知关于x的不等式ax－3x＋2≤0的解集为{x|1≤x≤b}． (1)求实数a，b的值； (2)解关于x的不等式

2

x－c＞0(c为常数)． ax－b2

【解析】(1)由题意知1，b为关于x的方程ax－3x＋2＝0的两根且a＞0，

??则?3

1＋b＝，??ab＝，a2

∴a＝1，b＝2.

(2)不等式等价于(x－c)(x－2)＞0， 当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}； 当c＝2时解集为{x|x≠2，x∈R}； 当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．

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