复旦大学《概率论基础》习题答案
（第一版）
第二章 条件概率与统计独立性
1、解：自左往右数，排第i个字母的事件为Ai，则
P(A1)?2211,P(A2A1)?，P(A3A2A1)?,P(A4A3A2A1)? 5432P(A5A4A3A2A1)?1。
所以题中欲求的概率为
P(A1A2A3A4A5)?P(A1)P?A2A1?P?A3A2A1?P?A4A3A2A1?P?A5A4A3A2A1??22111????1? 5432302、解：总场合数为23=8。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A的有
利场合数为7，AB的有利场合为6，所以题中欲求的概率P（B|A）为
P?BA??P(AB)6/86??.
P(A)7/873、解：（1）M件产品中有m件废品，M?m件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两
112222件都是废品}，显然A?B，则 P(A)?Cm P(B)?Cm， CM?m?Cm/Cm/CM??题中欲求的概率为
22Cm/CMm?1P(B|A)?P(AB)/P(A)?P(B)/P(A)?11. ?222M?m?1(CmCM?m?Cm)/CM（2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然B?A，则
2112112 P(A)?CM?m?CmCM?m/CM, P(B)?CmCM?m/CM.
??题中欲求的概率为
112CmCM2m?m/CMP(B|A)?P(AB)/P(A)?P(B)/P(A)?2. ?112M?m?1(CM?m?CmCM)/C?mM（3）P{取出的两件中至少有一件废品}=CmCM?m?Cm/CM??112?2m(2M?m?1)
M(M?1)4、解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球}。则 P(A)?全概率公式得
a 甲取出的球可为白球或黑球，利用
(a?b)P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)
?bb?1abb???? a?ba?b?1a?ba?b?1a?b甲，乙取球的情况共有四种，由全概率公式得
P(C)?P(AB)P(C|AB)?P(AB)P(C|AB)?P(AB)P(C|AB)?P(AB)P(C|AB)
?b(b?1)b?2abb?1 ???(a?b)(a?b?1)a?b?2(a?b)(a?b?1)a?b?2?abb?1a(a?1)b ???(a?b)(a?b?1)a?b?2(a?b)(a?b?1)a?b?2?b(a?b?1)(a?b?2)b?.
(a?b)(a?b?1)(a?b?2)a?b1， 105、解：设B={两数之和大于10}，Ai={第一个数取到i}，i?0,1,?,9。则P(Ai)?P(B|A0)?P(B|A1)?0,P(B|Ai)?(i?1)/9,i?2,3,?5;P(B|Aj)?(j?2)/9,
j?6,7,8,9。由全概率公式得欲求的概率为
P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?i?0916?0.356. 456、解：设A1={从甲袋中取出2只白球}，A2={从甲袋中取出一只白球一只黑球}，A3={从甲袋中取出2只黑球}，B={从乙袋中取出2只白球}。则由全概率公式得
P(B)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?P(B|A3)P(A3)
221222CaCa?2c1cbCaCbC??1?22?22?22a. cA?Bc????2Ca?bC????2Ca?bC????27、解：A1={从第一袋中取出一球是黑球}，??，Ai={从第一袋中取一球放入第二袋中，?，再从第i?1袋中取一球放入第i袋中，最后从第i袋中取一球是黑球}，i?1,?,N。则
P(A1)?ab,P(A1)?. a?b(a?b)一般设P(Ak)?ab，则P(Ak)?，得
(a?b)(a?b)a.
(a?b)P(Ak?1)?P(Ak?1|Ak)P(Ak)?P(Ak?1|Ak)P(Ak)?a.
(a?b)由数学归纳法得 P(AN)?
8、解：设A1={飞机第一部分中两弹}，A2={飞机第二部分中两弹}，A3={飞机第一部分中一弹}，A4={其它情况}，则
AiAj??(i?j),A1?A2?A3?A4??.
P(A1)?0.1?0.1?0.01,P(A2)?0.2?0.2?0.04.
A3={第一弹中第一部分且第二弹中第二部分，或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分，或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分，或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分}，
P(A3)?0.1?0.2?0.1?0.7?0.2?0.1?0.7?0.1?0.18， P(A4)?1?[P(A1)?P(A2)?P(A3)]?0.77.
设B={飞机被击落}，则 P(B|Ai)?1(I?1,2,3),4P(B|A4)?0.
由全概率公式得P(B)?
?P(B|A)P(A)?0.01?0.04?0.18?0.23.
iii?19、解：设Ai={第i回出正面}，记pi?P(Ai)，则由题意利用全概率公式得
P(Ai?1)?P(Ai?1|Ai)P(Ai)?P(Ai?1|Ai)P(Ai)
?pp1?(1?p)(1?p1)?(2p?1)p1?(1?p)。
已知pi?c，依次令i?n?1,n?2,?,1可得递推关系式
Pn?(2p?1)pn?1?(1?p), Pn?1?(2p?1)pn?2?(1?p),?, P2?(2p?1)p1?(1?p)?(2p?1)c?(1?p).
解得
Pn?(1?p)[1?(2p?1)?(2p?1)2???(2p?1)n?2]?c(2p?1)n?1,
当p?1时利用等比数列求和公式得
111?(2p?1)n?1pn?(1?p)?c(2p?1)n?1??(2p?1)n?1?c(2p?1)n?1. （*）
221?(2p?1)（1）若p?1，则pn?C,limpn?C；
n??（2）若p?0，则当n?2k?1时，pn?c；当n?2k时，pn?1?c。
111，则pn?,limpn? 22n??21若c?1，则c?1?c,limpn不存在。
n??2若c?（3）若0?p?1，则由（*）式可得
?11?1limpn?lim??(2p?1)n?1?c(2p?1)n?1??. n??n??22??2
10、解：令Ai,Bi,Ci分别表示第i次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概率公式得
pn?1?P(An?1)?P(An)P(An?1|An)?P(Bn)P(An?1|Bn)?P(Cn)P(An?1|Cn)
?0?pn?11qn?0?rn?qn， 44qn?1?P(Bn?1)?P(An)P(Bn?1|An)?P(Bn)P(Bn?1|Bn)?P(Cn)P(Bn?1|Cn)
?1?pn?11qn?1?rn?pn?qn?rn,， 22rn?1?P(Cn?1)?P(An)P(Cn?1|An)?P(Bn)P(Cn?1|Bn)?P(Cn)P(Cn?1|Cn)
11?0?pn?qn?0?rn?qn.
44这里有pn?1?rn?1，又pn?1?qn?1?rn?1?1，所以qn?1?1?2pn?1，同理有qn?1?2pn，再由pn?1?11qn得pn?1?(1?2pn)。所以可得递推关系式为 441??rn?1?pn?1?(1?2pn)， ?4??qn?1?1?2pn?1初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即p0?r0?0,q0?1，由递推关系式得
rn?1?pn?1?1111111111(1?2pn)??pn??(?pn?1)???pn?1?? 442424248411(?1)n?2(?1)n?1p0?2?3???n?2??n?122221??1??1????4???2?n?1?1?1?????2?????
1??1???1?(?1)n?1???6??2??n?1n?2?1n1?1????(?1)????，
3?2???6qn?1?1?2pn?121?1???(?1)n?1????33?2?12,limqn?. 6n??3n?1.
limpn?limrn?n??n??
11、解：设An={家庭中有n个孩子}，n=0,1,2,?，B={家庭中有k个男孩}。注意到生男孩与生女孩是等可能的，由二项分布(p?1)得 2kn?k?1??1?P(B|An)?C?????2??2?kn?1??C??.
?2?knk?1n由全概率公式得
?1?p?k?1?P(B)??P(An)P(B|An)??apnCn???a?Ck??1?22????i?0n?kn?k??n（其中i?n?k）
?p??a???2?
k?p??p??1?p?C?a1????????k?1?2??2??2?i?01k?k?1`2apk?. k?1(2?p)12、解：（1）设A={至少有一男孩}，B={至少有2个男孩}。A?B,AB?B，由
0?p?1得
(2?p)2apk P(A)??k?1k?1(2?p)?p2a(2?p)ap???,
1?p2?p(2?p)(1?p)(2?p)2apkP(B)??k?1k?2(2?p)?p22a(2?p)2ap2, ???2?p1?p(2?p)2(1?p)2(2?p)P(B|A)?
P(AB)P(B)p??.
P(A)P(A)2?p（2）C={家中无女孩}={家中无小孩，或家中有n个小孩且都是男孩，n是任意正整
数}，则
第二章条件概率与统计独立性
