育才学校2024—2024学年度第二学期期末考试
高二理科数学试卷
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.命题“若a?b?1，则a,b中至少有一个大于1”的否命题为（ ） A. 若a,b中至少有一个大于1，则a?b?1 B. 若a?b?1，则a,b中至多有一个大于1 C. 若a?b?1，则a,b中至少有一个大于1 D. 若a?b?1，则a,b都不大于1
z?i，则z?（ ） ?i（i为虚数单位）
z11111111A．?i B．?i C．??i D．??i
222222222.已知复数z满足方程
3.已知命题p:?x?R,x2?x?1?0，那么?p是（ ）
22A. ?x0?R,x?x?1?0 B. ?x0?R,x?x?1?0 22C. ?x0?R,x?x?1?0 D. ?x0?R,x?x?1?0
4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如?1101?2表示二进制
?数，将它转换成十进制形式是1?2?1?2?0?2?1?2?13，那么将二进制数?1111??16个13210?1???2转换成十进制形式是（ ）
A. 2?2 B. 2?2 C. 2?1 D. 2?1
5.过点P??2,0?的直线与抛物线C:y?4x相交于A,B两点，且PA?2171616151AB，则点A到2原点的距离为 （ ） A.
265 B. 2 C.
3327 3D.
6.在平面直角坐标系xOy中，已知A0,2,B0,?2,P为函数y?若PB?2PA，则cos?APB? （ ）
????x2?1图象上一点，
A.
313 B. C.
334D.
3 57.已知四棱锥P?ABCD中， AB??4,?2,3?， AD???4,1,0?， AP???6,2,?8?，则点P到底面ABCD的距离为（ ） A.
2626 B. C. 1 1326D. 2
8.已知函数f(x)＝e－(x＋1)(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图象是( )
x
2
A. B. C. D.
9.曲线y?2sinx?0?x???与直线y?1围成的封闭图形的面积为( ) A. 23?4?2?4? B. 23? C. 23? 3332?D. 23?
310.已知定义在实数集R的函数f?x?满足f?1??4，且f?x?导函数f??x??3，则不等式
f?lnx??3lnx?1的解集为（ ）
A．?1,??? B．?e,??? C．?0,1? D．?0,e? 11.已知四棱锥S－ABCD的底面是边长为2的正方形,AC、BD相交于点O ,
， E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持迹的周长为 ( ) A. D.
B.
C.
,
， 则动点P的轨
12.已知f?x?是定义在R上的偶函数，且f?2??0，当x?0时， xf??x??f?x??0，则
不等式xf?x??0的解集是( )
A. ???,?2???2,??? B. ??2,2? C. ??2,0???2,??? D. 以上都不正确
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.条件p:?2?x?5，条件q:围是______________．
x?2?0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范x?ay2x214.已知双曲线2?2?1（a?0,b?0）的离心率为3，那么双曲线的渐近线方程为
ab__________．
x2y22??1上任意一点， EF为圆N:?x?1??y2?4的任意一条直径，15.已知P为椭圆
1615则PE?PF的取值范围是__________． 16.如图是函数
的图象，给出下列命题：
①
是函数
的极值点 的极小值点 处切线的斜率大于零
上单调递减
②1是函数③④
在在区间
则正确命题的序号是__________. 三、解答题(共6小题,共70分)
217.（10分）已知命题p:?x0?R，使得ax0?2x0?1?0成立；命题q：方程
x2??a?3?x?a?0有两个不相等正实根；
（1）若命题?p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.
18. （12分）已知椭圆C的离心率为3，点A,B,F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，2且S?ABF?1?3． 2（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l:y?x?2与椭圆C交于M,N两点，求?MON的面积． 19. （12分）双曲线C的中心在原点，右焦点为F?（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l:y?kx?1与双曲线C交于A,B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点.
20. （12分）已知函数f(x)??23???3,0?,渐近线方程为y??3x. ??132ax?x(a?0)． 3（1）求函数y?f(x)的极值；
（2）若存在实数x0?(?1,0)，
且x0??11，使得f(x0)?f(?)，求实数a的取值范围． 22221. （12分）已知直线y?k?x?a?与抛物线C:y?2px切于点A?2,2?，直线l?经过点
B?a,0?且垂直于x轴。
（1）求a值；
（2）设不经过点A,B的动直线l:x?my?b交抛物线C于点M,N，交直线l?于点P，若直线AM,AP,AN的斜率依次成等差数列，试问：直线l是否过定点？若是请求出该定点坐标，若不是，请说明理由。
22. （12分）已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)＝e－ax－1的定义域为(0，＋∞)．
（1）设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； （2）判断函数f(x)的单调性．
x
参考答案
1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.C 7.D 8.C 9.B 10.D 11.C 12.C 13.a?5 14.2x?2y?0 15.[5,21] 16.①③④
17.(1) a??1；(2) ?1?a?0或a?1. 【解析】
（1）?p:?x?R， ax2?2x?1?0不恒成立. 由{a?0 得a??1. ??02（2）设方程x??a?3?x?a?0两个不相等正实根为x1、x2
??0命题q为真?{x1?x2?0?0?a?1
x1x2?0由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，得命题p、q一真一假 ①当p真q假时，则{a??1 得?1?a?0或a?1
0?0或a?1a??1 无解；
0?a?1②当p假q真时，则{∴实数a的取值范围是?1?a?0或a?1.
x226?y2?1（2）S?MON?18.(1) 54解析:由e?c331?a,b?a 得c?a222所以S?ABF?11?3?2322 所以a?4,b?1 a?cb?1?a?1?????24?2?2??
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