数列求和之裂项相消与错位相减专题
1．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式：
111??；
n(n?1)nn?11111?(?)
n(n?2)2nn?2
若
是公差为d的等差数列，则
；（6）
；
1111?(?)
(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
n?n!?(n?1)!?n!
；
例1．求和
例2．求和
1111?????。 1?33?55?7(2n?1)(2n?1)12?1?13?2?12?3???1n?1?n。
2242(2n)2例3.求和Sn? ????1?33?5(2n?1)(2n?1)思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解
:
(2k)2(2k)2?1?11111ak???1??1?(?)
(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)22k?12k?1111111112n(n?1)Sn?a1?a2???an?n?[(1?)?(?)???(?)]?n?(1?)?23352n?12n?122n?12n?1
222例4（2014揭阳一模）. 已知正项数列{an}满足:an?(n?n?1)an?(n?n)?0(n?N?)，
数列{bn}的前n项和为Sn，且满足b1?1，2Sn?1?bn(n?N?)．
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）设cn?(2n?1)bn，数列?cn?的前n项和为Tn，求证：T2n?1． an2222a?(n?n)?解：（1）由an?(n?n?1)an?(n?n)?0,得?n??(an?1)?0. ---------2分
2由于?an?是正项数列,所以an?n?n.---------------------------------3分
由2Sn?1?bn可得当n?2时，2Sn?1?1?bn?1，两式相减得bn??bn?1，------------5分
n?1∴数列{bn}是首项为1，公比?1的等比数列，?bn?(?1).----------------------------------7分
（2）∵cn?(2n?1)bn2n?1?(?1)n?1?---------------------------------8分 ann(n?1)方法一：∴c2n?1?c2n?4n?14n?1(4n?1)(2n?1)?(4n?1)(2n?1)??
2n(2n?1)2n(2n?1)2n(2n?1)(2n?1)?211??--------------------------------------------------------------11分
(2n?1)(2n?1)2n?12n?1?T2n?(c1?c2)?(c3?c4)??1?1111?(c2n?1?c2n)?????1335?11?2n?12n?11?1.---------------------------------------------------------------------------------------14分 2n?1(2n?1)bn2n?111?(?1)n?1??(?1)n?1?(?)-----------------11分 ann(n?1)nn?1【方法二：∵cn??T2n?c1?c2?c3?c4??(11111111?c2n?1?c2n?(?)?(?)?(?)?(?)?12233445
11111?)?(?)?1??1.----------------------------------------------14分】 2n?12n2n2n?12n?1例5．（2012广州一模+本小题满分14分）
22a4,a3,4a5成等差数列，等比数列?an?的各项均为正数，且a3?2a2．（1）求数列?an?的通项公式；（2）设bn?2n?5an，求数列?bn?的前n项和Sn．
?2n?1??2n?3?（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：设等比数列?an?的公比为q，依题意，有
2a4?4a5?234?,??a3?a4?2a5,?a1q?a1q?2a1q,?a3?即?…所以?………………3分 2?2222???a3?2a2.?a1q?2a1q.?a?2a2.2?31?1a?,?1?a?,??21由于a1?0，q?0，解之得?或?2…………5分
?q?1.??q??1.??2又a1?0,q?0，所以a1?11,q?，……………6分 22n?1?*所以数列?an?的通项公式为an???（n?N）．…7分
2??（2）解：由（1），得bn?2n?52n?51?an??n．……8分
?2n?1??2n?3??2n?1??2n?3?2所以bn??所以
1?111?2????．…10分 ?nn?1n(2n?1)2(2n?3)2?2n?12n?3?2Sn?b1?b2??bn1??11??1????????2??35?2??5?27?2??11?3?2n?3?2n??11??? n?1n??2n?3?2???2n?1?2．
故
数
列
?bn?的前
n项和
11Sn??．………………14分
3?2n?3?2n2．错位相减法求和
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项
例6．已知数列1,3a,5a,?,(2n?1)a2n?1(a?0)，求前n项和。
02n?1思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列a,a,a,?,a积，可用错位相减法求和。 解
：
对应项
Sn?1?3a?5a2???(2n?1)an?1?1?
aSn?a?3a2?5a3???(2n?1)an?2?
?1???2?:(1?a)Sn当
?1?2a?2a2?2a3???2an?1?(2n?1)an
2a(1?an?1)a?1时,(1?a)Sn?1??(2n?1)n 2(1?a)1?a?(2n?1)an?(2n?1)an?1 Sn?2(1?a)当a?1时,Sn?n2
3．并项法求和
例7．数列?an?中， an?(?1)n?1n2，求S100。 例8．数列?an?中，，an?(?1)n4n，求S20及S35。
例9.已知Sn?1?5?9?13?17?21???(?1)n?1(4n?3)，则S15?S22? ．
例2：（2010 ·海南宁夏高考·理科T17）设数列?an?满足a1?2， （Ⅰ)求数列?an?的通项公式：
（Ⅱ）令bn?nan，求数列?bn?的前n项和Sn.
【规范解答】（Ⅰ)由已知，当n?1时，an?1?(an?1?an)?(an?an?1)???(a2?a1)??a1
?3(22n?1?22n?3??2)?2?22(n?1)?1而a1?2，满足上述公式，所以?an?的通项公式为
an?22n?1.（Ⅱ）由bn?nan?n?22n?1可知，
sn?1?2?2?23?3?25?从而 22?n?22n?1 ①
?n?22n?1 ②
sn?1?23?2?25?3?27?235①?②得 (1?2)sn?2?2?2??22n?1?n?22n?1
即 Sn?12n?1?(3n?1)2?2??? 9
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