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第二节函数的单调性与最值
一、基础知识批注——理解深一点
1．增函数、减函数
定义：设函数f(x)的定义域为I：
(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 时，都有f(x1) (2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． 增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征 一是任意性；二是有大小，即x1 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间. 有关单调区间的两个防范 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 3．函数的最值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M. (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值． 函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 二、常用结论汇总——规律多一点 精品 . 在公共定义域内： (1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数； (2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数； (3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数； (4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数； (5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (6)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ 1 fx的单调性相反； (7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． 三、基础小题强化——功底牢一点 一判一判对的打“√”，错的打“×” 1 (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) x(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．( ) (3)若定义在R上的函数f(x)有f(－1) (6)所有的单调函数都有最值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (二)选一选 1．若函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( ) 1 A．m> 21 C．m>－ 2 1 B．m< 21 D．m<－ 2 1 解析：选B 若函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<. 22．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) 12xA．y＝ B．y＝－x＋1 C．y＝2 D．y＝log2|x| x精品 . 解析：选B 因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A、C，又y＝－x＋1在 (0，＋∞)上单调递减，y＝log2|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B. 3．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( ) A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞) 2 2 ??x－2x，x≥2，解析：选A 由于f(x)＝|x－2|x＝?2 ??－x＋2x，x<2. 结合图象(图略)可知函数的单 调减区间是[1,2]． (三)填一填 4.设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________． 解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]． 答案：[－1,1]和[5,7] 5．函数f(x)＝ 2 在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________． x－1 解析：易知f(x)在[－2,0]上是减函数， 24 ∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－－(－2)＝. 334 答案： 3 考点一 确定函数的单调性 区间 2 [典例] (1)求函数f(x)＝－x＋2|x|＋1的单调区间． (2)试讨论函数f(x)＝ axx－1 (a≠0)在(－1,1)上的单调性． ??－x＋2x＋1，x≥0， [解] (1)易知f(x)＝?2 ?－x－2x＋1，x<0???－ ＝??－? 2 x－1x＋1 2 ＋2，x≥0，＋2，x<0. 2 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 精品
(通用版)202x高考数学一轮复习 2.2 函数的单调性与最值讲义 文
