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(通用版)202x高考数学一轮复习 2.2 函数的单调性与最值讲义 文

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第二节函数的单调性与最值

一、基础知识批注——理解深一点

1.增函数、减函数

定义:设函数f(x)的定义域为I:

(1)增函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

时,都有f(x1)

(2)减函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.

增(减)函数定义中的x1,x2的三个特征

一是任意性;二是有大小,即x1x2);三是同属于一个单调区间,三者缺一不可. 2.单调性、单调区间

若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.

有关单调区间的两个防范

(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.

(2)有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“逗号”或“和”连接.

3.函数的最值

设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M或f(x)≥M. (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.

那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值或最小值.

函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

二、常用结论汇总——规律多一点

精品

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在公共定义域内:

(1)函数f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)+g(x)是增函数; (2)函数f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)+g(x)是减函数; (3)函数f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)是增函数; (4)函数f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)是减函数;

(5)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反; (6)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=

1

fx的单调性相反;

(7)复合函数y=f[g(x)]的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关.简记:“同增异减”.

三、基础小题强化——功底牢一点

一判一判对的打“√”,错的打“×”

1

(1)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )

x(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性.( ) (3)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)

(6)所有的单调函数都有最值.( )

答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×

(二)选一选

1.若函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则( ) 1

A.m>

21

C.m>-

2

1

B.m<

21

D.m<-

2

1

解析:选B 若函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-1<0,即m<.

22.下列函数中,图象是轴对称图形且在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) 12xA.y= B.y=-x+1 C.y=2 D.y=log2|x|

x精品

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解析:选B 因为函数的图象是轴对称图形,所以排除A、C,又y=-x+1在 (0,+∞)上单调递减,y=log2|x|在(0,+∞)上单调递增,所以排除D.故选B.

3.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是( ) A.[1,2]

B.[-1,0] C.[0,2] D.[2,+∞)

2

2

??x-2x,x≥2,解析:选A 由于f(x)=|x-2|x=?2

??-x+2x,x<2.

结合图象(图略)可知函数的单

调减区间是[1,2].

(三)填一填

4.设定义在[-1,7]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的增区间为________.

解析:由图可知函数的增区间为[-1,1]和[5,7]. 答案:[-1,1]和[5,7] 5.函数f(x)=

2

在[-2,0]上的最大值与最小值之差为________. x-1

解析:易知f(x)在[-2,0]上是减函数,

24

∴f(x)max-f(x)min=f(-2)-f(0)=--(-2)=.

334

答案:

3

考点一 确定函数的单调性

区间

2

[典例] (1)求函数f(x)=-x+2|x|+1的单调区间. (2)试讨论函数f(x)=

axx-1

(a≠0)在(-1,1)上的单调性.

??-x+2x+1,x≥0,

[解] (1)易知f(x)=?2

?-x-2x+1,x<0???-

=??-?

2

x-1x+1

2

+2,x≥0,+2,x<0.

2

画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).

精品

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