授课时间 授课方式 （请打√） 第 周 星期 第 节 理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□ 课次 课时 安排 2 2 授课题目（教学章、节或主题）： 第二讲 行列式按行（列）展开及计算 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 熟练掌握行列式按行（列）展开；掌握运用行列式的定义与性质计算行列式；熟悉一些典型行列式的计算；熟悉用数学归纳法证明行列式. 教学重点及难点： 重点：行列式按行（列）展开；利用行列式的定义与性质计算行列式 难点：行列式的计算 教 学 基 本 内 容 一、行列式按行（列）展开 引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除(i,j)元那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积. 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 aij备注 外都为零，D?ai1Ai1?ai2Ai2??ainAin,(i?1,2,?n)D?a1jA1j?a2jA2j??anjAnj,(j?1,2,?n) （按行（列）展开法则） 推论 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 D?ai1Aj1?ai2Aj2??ainAjn,i?j 或 D?a1iA1j?a2iA2j??aniAnj,i?j. 1?1131?22?4?13521103例1、D4? 1 / 4
解1?11?1?32?31?1?1?2?1401?573?101?57法1:D4?000624?2?1?3??20?1131?21?1??2?12??24 解法2：D4??1051035?208024??11?1??2284??24 101例2、设D4?211?14，（1）求A11?A21?A31?A41；（2）2A41?A42?A43?A44。 0?1212?13解：（1）A11?A21?A31?A41?0 （2）2A41?A42?A43?A44?2A41?A42?A43?4A44?3A44??3A44 11?6 ??321?1??31?110?1101二、行列式的计算 a1?b1例3、Dn?a2?anan?an?bna2a2a2?b2?a2?????an1a1an?1b1an＝?10???an?bn?10a20b2?0?????an00 ?bn，其中b1b2?bn?0 a1?a1a2?b2???a210?0?0?a1a1?b1a1?a1解：Dn?Dn?12 / 4
1??j?1najbja1b10?0a2?0b2?0????anna?0j＝b1b2?bn?1???0j?1bj??＝00?0?? ??bn例4、证明范德蒙行列式 1x1Vn?x12?x1n?11x22x2?n?1x21x32x3?n?1x3?????1xn2??(xi?xj) xn1?j?i?n?n?1xn证明：数学归纳法. V2?1x11x2?x2?x1?1?j?i?2?(xi?xj)成立. 假如Vn?1成立，欲证Vn也成立， 10Vn?0?011x2?x1x3?x1x2(x2?x1)x3(x3?x1)??n?2n?2x2(x2?x1)x3(x3?x1)?????1xn?x1xn(xn?x1) ?n?2xn(xn?x1)1?(x2?x1)(x3?x1)?(xn?x1)x2?n?2x21x3????1xn ?n?2xnn?2x3??(x2?x1)(x3?x1)?(xn?x1)?1?j?i?n2?j?i?n?(xi?xj)?(xa11a21c11c21i?xj) 例5、证明a12a22c12c220000b11b12b21b22?a11a21a12b11b12a22b21b223 / 4
一般可推广为： a11??c11?cs1????ak1?a1k?ak2c1k?cs20?0?????0?0b1s?bssa11????ak1?a1kb11????akkbs1?b1s? bssb11?bs1? 作业： 1．复习P16?21； 1．预习P21?25； 3．习题P27：6（5）；8（1）（6）；9 教学后记
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第讲 行列式按行(列)展开及计算
