XX大学2016—2017学年度第二学期考试试卷A卷
高等数学1—2
注意事项:
1. 请考生在下列横线上填写姓名、学号和年级专业。
2 .请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。 3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。 4. 满分100分，考试时间120分钟
专业 学号 姓名_________________
题号 得 分 一 二 1 2 3 4 三 5 6 7 8 四 总分 总分人 复查人
得 分 评分人
一．填空题（共24分，每小题3分）
1．设函数z?yx，则dz?__________________________.
?z?__________________ . ?xt3. 曲线x?t?sint，y?1?cost，z?2sin在t??处切线方程为
22．方程e3z?3xyz?e3确定z?z?x,y?，则
_______________________________. __________4. 函数u?x2y?z在点M(2,1,0)处最大的方向导数为__________________. 5. 交换二次积分I??dy? 0 2 yy22 f(x,y)dx的积分次序，得I?__________________.
6.设平面曲线L:y?x2(0?x?1)，则曲线积分?xds?__________________.
L7. 幂级数?n?1?2nnxn的收敛域是 ________________________.
_________________. 8. 微分方程y???2y??2y?0的通解为__________
得 分 评分人
二、选择题（共12分，每小题3分）
1. 设曲面z?2x2?3y2在点M(1 , 1 , 5)处的切平面方程为4x?6y?z???0，则
??（ ）.
(A) ?15 (B) 0 (C) ?5 (D) 5
2. 函数f(x,y)在点(x,y)处可微是函数f(x,y)在该点处存在偏导数的（ ）. (A) 必要条件 (B) 充分条件
(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件
3. 设曲线L是单位圆周x2?y2?1按逆时针方向，则下列曲线积分不等于零的是（ ）.
(A) ?yds (B) ?xds (C) ?xdy?ydx (D) ?LLLxdy?ydx
Lx2?y24. 下列级数中收敛的是（ ）.
???2nn311n(A) ?2 (B) ? (C) ?(n?) (D) ?n
2nn?2n?13n?1nn?12n?1?
三、解答题：(共59分)
得 分 评分人 x31?y2?的极值. 1.（7分）求二元函数f?x,y??2xy?33得 分 评分人 ?x?2. （7分）设函数z?f?,x2y?，其中f?u,v?具有二阶
?y??z?2z连续偏导数，求, .
?x?x?y得 分
3．（7分）计算二重积分??xy2dxdy，其中D是由圆周x2?y2?4与
D评分人 y轴所围成的右半区域.
得 分 4．（7分）将函数f?x??ln(1?x)展成x?1的幂级数，并写出可展区间
5．（7分）计算曲面积分I???(2xy?x?y?z)dS，其中?为平面
?评分人 得 分 评分人 x?y?z?1在第一卦限中的部分.
6. （8分） 求微分方程y???3y??2y?xe2x的通解.
7． （8分）计算曲线积分I??x?yx2dx?xy2?y3?2dy
L得 分 评分人 得 分 ????评分人 得 分 其中L为曲线y?2x?x2从A(2,0)到O(0,0)的弧段. 8．（8分）利用高斯公式计算曲面积分
评分人 I???x3dydz??y3?2?dzdx??z3?x3?dxdy,其中?为由上半球面
?z?4?x2?y2与锥面z?x2?y2围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.
四．（5分）设f(x)是在(??,??)内的可微函数, 且f?(x)??f(x), 其中0???1. 任
得 分 取实数a0, 定义an?lnf(an?1),n?1,2,3证明：级数?(an?an?1)绝对收敛.
n?1?.
评分人
高等数学1--2 参考答案与评分标准
一、填空题（共24分，每小题3分） 1. dz?yxlnydx?xyx?1dy 2. 3.
?zyz?3z ?xe?xy33 x??y?2z?2 4. ??200 2 2x 0 x5.I??dx?f(x,y)dy 6.
155?1 12??117. [? , ) 8. y?ex(c1cosx?c2sinx)
22二、选择题（共12分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题（共64分） 1. （7分）
2??fx?2y?x?0解： 令? 得驻点
f?2x?2y?0??y?x?0?x?2 ，? ???2分 ?y?0y?2?? fxx??2x，fxy?2，fyy??2 ???4分 在（0，0）处， A?0 , B?2 , C??2
? AC?B2??4?0 ， ?（0，0）为非极值点. ???5分
在（2，2）处 A??4?0 , B?2 , C??2
? AC?B2?4?0 ? f(2 , 2)?1为函数f(x,y)的极大值. ???7分
2.（7分） 解：
?z1?f1??2xyf2? ?xy3分
?2z?1?(f1??2xyf2?)
?x?y?yy ??11xx22??????????f?[f(?)?fx]?2xf?2xy [f(?)?fx] 1111221222222yyyy1xx2??????2x3yf22?? ???7分 ??2f1??2xf2??3f11f12yyy
3. （7分） 解：
??xyD2dxdy?? 2 ?2ydy?2 4?y2 0xdx 3分
1 222y(4?y)dy ???5分 ? ?22 264 ??(4y2?y4)dy? ???7分
0154. （7分） ?解：
(?1)nn?1ln(1?x)??x ?1?x?1 ???1分
n?0n?1? ln(1?x)?ln[2?(x?1)]??ln2?ln(1?(?1)nx?1n?1?ln2??()?
2n?0n?1?x?1) 23分
(?1)nn?1 ?ln2??(x?1)n?1n?0(n?1)2?6分
?1?x?1?1 ? ?1?x?3 27分
5.（7分）
解：?:z?1?x?y ?dS?1?zx?zydxdy?3dxdy ?I???(2xy?1)3dxdy
D2分 4分 5分
?3?dx?011?x02xydy?3??dxdy
D ?3??x013?2x2?x?dx?3
6分 7分
?193. 12 6.（8分）
解 （1）先求微分方程y???3y??2y?0的通解Y
特征方程 r2?3r?2?0 即 (r?2)(r?1)?0，r1?2 ，r2?1
Y?c1e2x?c2ex ???3分
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