离散数学作业5
离散数学图论部分形成性考核书面作
姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月5日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题
1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 15 ．
2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是
?f??e,c?．
3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则
G的结点 度数之和 等于边数的两倍．
4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且 不含奇数度结点 ． 5．设G=
7．设完全图Kn有n个结点(n?2)，m条边，当n为奇数时，Kn中存在欧拉回路．
8．结点数v与边数e满足 e= v－1 关系的无向连通图就是树． 9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去
条边后使之变成树．
10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ． 二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．． 答：错误。应叙述为：“如果图G是无向连通图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路。”
2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．
答：错误。因为图中存在奇数度结点，所以不存在欧拉回路。 3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．
答：正确。因为有4个结点的度数为奇数，所以不是欧拉图；而对于图中任意点集V中的非空子集V1，都有P(G?V1)??V1?。其中P(G?V1)是从图中删除V1结点及其关联的边。
4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图． G 答：错误。若G是连通平面图，那么若v?3,就有e?3v?6， 而16>3×7－6，所以不满足定理条件，叙述错误。
5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．
答：正确。因为连通平面图满足欧拉公式。即：v?e?r?2。由此题条件知6-11+7=2成立。
三、计算题
1．设G=
(1) 给出G的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵； (3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形． 答：（1） v1°
° °v3
v4° °v5
?00100??00110???（2） A(D)??11011?
??01101????00110??（3） deg(v1)?1、deg(v2)?2、deg(v3)?4、deg(v4)?3、deg(v5)?2 （4） °v1
v2° °v3
v4° °v5
2．图G=
及5，试
（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵；
（3）求出G权最小的生成树及其权值． b c 解：（1） 。 。
2 1 a。 6 4 2 1 3 。 。 e 5 d ?0?1?（2） A(D)??1??0??11101? 2 1
0011?a。 1 ?0011? 3 ?1101? 。 。
?1110?（3） b c 。 。
e d 其权值为：7 3．已知带权图G如右图所示．
(1) 求图G的最小生成树； (2)计算该生成树的权值． 答：(1)
1 2
7
5 3
(2) 权值为18。
4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．
解： 65
17 48 5 12
17 31 2 3 5 7
权值为65。 四、证明题
1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．
证明：设a为G中任意一个奇数度顶点，由G定义，a仍为G顶点，为区分起见，记为a’, 则deg(a)+deg(a’)=n-1, 而n为奇数，则a’必为奇数度顶点。由a的任意性，容易得知结论成立。
2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加条边才能使其成为欧拉图．
证明：由定理推论知：在任何图中，度数为奇数的结点必是偶数个，则k是偶数。又由欧拉图的充要条件是图G中不含奇数度结点。因此，只
k2要在每对奇数度结点间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图。故最少要加条边才能使其成为欧拉图。
k2
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