样本标准差 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 , , , , 其中 ,为二阶中心矩。 (2)正态正态分布 设 为来自正态总体 的一个样本,则样本函数 总体下的 四大分布 t分布 设 为来自正态总体 的一个样本,则样本函数 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。 设 为来自正态总体 的一个样本,则样本函数 其中 表示自由度为n-1的 分布。 设 为来自正态总体 的一个样本,而 为来自正态总体 的一个样本,则样本函数 其中 表示第一自由度为 ,第二自由度为 的F分布。 (3)正态与 独立。 总体下分布的性质 第七章 参数估计
(1)点矩估计 设总体X的分布中包含有未知数 ,则其分布函数可以表成 它 F分布 估计 的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ,即 。又设为总体X的n个样本值,其样本的k阶原点矩为 这样,我们按照“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程,即有 由上面的m个方程中,解出的m个未知参数 即为参数( )的矩估计量。 若 为 的矩估计, 为连续函数,则 为 的矩估计。 极大似当总体X为连续型随机变量时,设其分布密度为 ,其中 为未然估计 知参数。又设 为总体的一个样本,称 为样本的似然函数,简记为Ln. 当总体X为离型随机变量时,设其分布律为 ,则称 为样本的似然函数。 若似然函数 在处取到最大值,则称 分别为 的最大似然估计值,相应的统计量称为最大似然估计量。 若 为 的极大似然估计, 为单调函数,则 为 的极大似然估计。 (2)估无偏性 设 为未知参数 的估计量。若E ( )= ,则称 为 的无偏估计量的计量。 评选标E( )=E(X), E(S2)=D(X) 准 有效性 设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ,则称 有效。 一致性 设 是 的一串估计量,如果对于任意的正数 ,都有 则称 为 的一致估计量(或相合估计量)。 若 为 的无偏估计,且 则 为 的一致估计。 只要总体的E(X)和D(X)存在,一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。 设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发,找出两个统计量 与 ,使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ,即 那么称区间 为 的置信区间, 为该区间的置信度(或置信水平)。 设 为总体 的一个样本,在置信度为 下,我们来确定 的置信区间 。具体步骤如下: (i)选择样本函数; (ii)由置信度 ,查表找分位数; (3)区置信区间估计 间和置信度 单正态总体的期望和方差的区间估计 (iii)导出置信区间 。 已知方差,估计均值 (i)选择样本函数 (ii) 查表找分位数 (iii)导出置信区间 (i)选择样本函数 (ii)查表找分位数 未知方差,估计均值 (iii)导出置信区间 (i)选择样本函数 (ii)查表找分位数 (iii)导出的置信区间 第八章 假设检验
基本思想 假设检验的统计思想是,概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的,即小概率原理。 为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生,那就表明原来的假定H0是不正确的,我们拒绝接受H0;如果由此没有导出不合理的现象,则不能拒绝接受H0,我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设,用H1表示。 这里所说的小概率事件就是事件 ,其概率就是检验水平α,通常我们取α=0.05,有时也取0.01或0.10。 基本步骤 假设检验的基本步骤如下: (i) 提出零假设H0; (ii) 选择统计量K; (iii) 对于检验水平α查表找分位数λ; (iv) 由样本值 计算统计量之值K; 将 进行比较,作出判断:当时否定H0,否则认为H0相容。 两类错误 第一类错误 当H0为真时,而样本值却落入了否定域,按照我们规定的检验法则,应当否定H0。这时,我们把客观上 H0成立判为H0为不成立(即否定了真实的假设),称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误,记为犯此类错误的概率,即 方差的区间估计 P{否定H0|H0为真}= ; 此处的α恰好为检验水平。 当H1为真时,而样本值却落入了相容域,按照我们规定的检验法则,应当接受H0。这时,我们把客观上H0。不成立判为H0成立(即接受了不真实的假设),称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误,记为犯此类错误的概率,即 第二类错误 P{接受H0|H1为真}= 。 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是,当容量n一定时, 变小,则 变大;相反地, 变小,则 变大。取定 要想使变小,则必须增加样本容量。 在实际使用时,通常人们只能控制犯第一类错误的概率,即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时,则应把α取得很小,如0.01,甚至0.001。反之,则应把α取得大些。
单正态总体均值和方差的假设检验
对应样本 条件 零假设 统计量 函数分布 已知 N(0,1) 否定域 未知 未知
概率论与数理统计公式大全
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