常用三角恒等变换技巧
解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点。下面从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。
一、“角变换”技巧
角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。
sin2x?2sin2x??33?7??例1 已知cos?x???，，求的值。 ?x?451?tanx44??【分析】考虑到“已知角”是x??4，而“未知角”是x和2x，注意到x??x????????，4?4可直接运用相关公式求出sinx和cosx。
【简解】因为
37???x??，所以??x??2?， 444又因为cos?x?????3??43????x??2?，sin?x???? ???0，所以
4?54?524?????????????72??， sinx?sin??x?????sin?x??cos?cos?x??sin??4?4?4?44?410????22sinxcosx?2sin2x28??. 从而cosx??，tanx?7. 原式=
101?tanx75【反思】（1）若先计算出cosx??2，则在计算sinx时，要注意符号的选取；（2）10本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出sinx和cosx. 但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由
????2x?2??x??，运用诱导公式和倍角公式求出sin2x。
?4?2例2 已知tan(???)??tan(???)，其中??1，求证：
sin2???1?
sin2???1【分析】所给条件中出现的“已知角”是???与???，涉及的“未知角”是2?与2?，将三个角比较分析发现2??(???)?(???)，2??(???)?(???)，把“未知”角转
化为两个“已知”角的代数和，然后用相关公式求解。
【简证】
sin2?sin?????????????? sin2?sin??????????????sin(???)cos(???)?cos(???)sin(???)
sin(???)cos(???)?cos(???)sin(???)tan(???)?tan(???)?tan(???)?tan(???)??1??
tan(???)?tan(???)?tan(???)?tan(???)??1?【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本题也可由已知直接求出tan?与tan?的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有： ?????????，?????????，
2????2???????，2????2???????，????(??)，75??45??30?424等.
二、“名变换”技巧
名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式，平方关系也能进行名变换。
例1 已知向量a?(1?tanx,1)，b?(1?sin2x?cos2x,0)，求f(x)?a?b的定义域和值域；
【分析】易知f(x)?(1?tanx)(1?sin2x?cos2x)，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。
【简解】f(x)?(1?tanx)(1?sin2x?cos2x)
??? ??1???sinx?2?1?2sinxcosx?2cosx?1 cosx??? ?2?cosx?sinx??cosx?sinx? ?2cos2x 由cosx?0得，x?k???2,k?Z，2cos2x??2
?? 所以，f(x)?2cos2x.的定义域是?xx?k????,k?Z?，值域是??2,2?. 2?【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.
例2 已知?,?都是锐角，且tan??sin??cos?sin?，求的值。
sin??cos?sin??cos? 【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化
切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近.
sin???1tan??tan??4?tan?【简解1】显然cos??0时，tan??cos??????，
sin??4???11?tan?tancos?4因为?,?都是锐角，所以?????4，
所以，
sin??sin??cos?sin?2. ??2??2sin????4??【简解2】由
sin?sin??cos?sin?cos??得，， ?cos?sin??cos?sin??cos?sin??cos?设
sin?cos???A，则
sin??cos?sin??cos?sin2??cos2??A2?sin??cos????sin??cos??，
22??所以，2A2?1，A?2sin?2?，即.
2sin??cos?2【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；
简解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元. 三、“常数变换”技巧
在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如 1?sinx?cosx，1?tan45，3?tan22??3等.
1?sin6x?cos6x3?；例1 （1）求证: （2）化简：sin2x?3cos2x. 441?sinx?cosx2【分析】第（1）小题运用1?sin2x?cos2x和1?sin2x?cos2x把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的y?Asin??x???的形式，有利于系统研究函数的图象与性质.
??3??2(sin2x?cos2x)3?sin6x?cos6x【简解】（1）左边=
(sin2x?cos2x)2?sin4x?cos4x3sin2xcos2x(sin2x?cos2x)3??.
2sin2xcos2x2
常用三角恒等变换技巧(师)
