2021年辽宁科技大学理学院801线性代数与常微分方程考研核心题库之常微分方程计算题精编
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1． 解方程：
dy1?2x+y?1=0 dxx2【答案】原方程可化为：
dy1?2x=-y?1 2dxx)
y?e?e?2x?1x2dx(?1?2xx2edx1xdx?c1(lnx2?)2(?e1?lnx2?dx?c)
=x2(1?cex)是原方程的解.
2． 解方程：青岛掌р心博阅?电子书
(1+x)ydx+(1-y)xdy=0
【答案】原方程为：
1?yx?1dy=-dx
yx两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外x=0，y=0也是原方程的解。
3． 并求出方程的解:
dy?dy?x?1??? dx?dx?dy?p 【答案】令dx1?p2 即x?pdy?p故两边积分得到 而dx1y?p2?lnp?c
21?p212因此原方程的解为x?，y?p?lnp?c。
2p
4． 解方程：青岛掌м心博阅电子书
y2dx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0，y=1的特解。 【答案】y2dx=-(x+1)dy
2dy1dy=-dx
y2x?1第 3 页，共 33 页
两边积分:-
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11=-ln|x+1|+ln|c|y=
ln|c(x?1)|y另外y=0，x=-1也是原方程的解x=0，y=1时c=e 特解为y=
5． 求方程
【答案】
经过
6． 解方程：
的第三次近似解青岛掌е心博阅电子书
1
ln|c(x?1)|1ds=-scost+sin2t
2dt1【答案】s=e??costdt(?sin2te?3dtdt?c)
2sint=e?sint(?sintcostedt?c)
=e?sint(sinte
7． 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程
上连续时,其解存在唯一 【答案】令
,因为故即
,
因此一阶线性方程当
,
在
:在为在
,
,上连续,则
显然在上的连续函数,
上也连续且存在最大植,记为
=
上连续时,其解存在唯一
上连续,
,当
,
在
sint?esint?c)
=ce?sint?sint?1是原方程的解。
8． 求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
【答案】设（x+y）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x-x)+y 则与x轴，y轴交点分别为：青岛掌?心博阅电子书 x=x0-
y0 y'y=y0-x0y’
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则x=2x0=x0-
9． 解方程：
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y0所以xy=c y'dyey?3x ?2dxx【答案】两边同乘以e
ydy(ey)2?3xey e?2dxxydzdy ?eydxdxdzz2?3xz3zz2???2这是n=2时的伯努利方程。 2dxxxx1dz31??2 两边同除以z2 2zdxxzx1令?T zdT1dzdT?3T1 ??2??2
dxzdxdxxx?3?1P（x）= Q(x)=2
xx令ey?z
由一阶线性方程的求解公式
T?e?3?xdx?3dx?1?3(?2exdx?c) x=x(?=?12x?c) 21?1x?cx?3 21z(?x?1?cx?3)?1
21ey(?x?1?cx?3)?1
21?x2ey?cey?x3 212x?x3e?y?c 2
10．解方程：
dyx4?x3? 2xydxdyx4?x3? 【答案】
xy2dxx3y=2+ yx第 5 页，共 33 页
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