习题5、 1
1． 判断全体n阶实对称矩阵按矩阵得加法与数乘就是否构成实数域上得线性空间. 答 就是.
因为就是通常意义得矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算得封闭性、 由n阶实对称矩阵得性质知,n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然就是n阶实对称矩阵,数乘n阶实对称矩阵仍然就是n阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上得线性空间、
2.全体正实数R+, 其加法与数乘定义为
判断R+按上面定义得加法与数乘就是否构成实数域上得线性空间、 答 就是、 设、
因为,
,
所以对定义得加法与数乘运算封闭、
下面一一验证八条线性运算规律 (1) ; (2);
(3) 中存在零元素1, , 有;
(4) 对中任一元素,存在负元素, 使; (5); (6); (7) ;
(8)?o(a?b)??o(ab)??ab???a?b??a??b???oa??ob.
所以R+对定义得加法与数乘构成实数域上得线性空间、 3、 全体实n阶矩阵,其加法定义为
按上述加法与通常矩阵得数乘就是否构成实数域上得线性空间、 答 否、 、
故定义得加法不满足加法得交换律即运算规则(１), 全体实n阶矩阵按定义得加法与数乘不构成实数域上得线性空间、 4.在中, 答 否、
?12??11??23?和的行列式都为零，但 例如??????的行列式不为零, 也就就是说集合对加123345??????法不封闭、
习题5、2
1.讨论中
得线性相关性、 解 设,
即 、 由系数行列式 知,
2.在中,求向量其中
解 设 由
得、 故向量为 ( 1, 0 , - 1 , 0 )、
?23??11??0-1??1-1??10?3.在P2?2中求????在基?1=??，?2=??，?3=??，?4=??下的坐标. 4?711100000??????????解 设
则有、
由
得、故向量为(-7,11,-21,30)、 4.已知得两组基 (Ⅰ): (Ⅱ):
（1） 求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵; （2） 已知向量; （3） 已知向量;
（4） 求在两组基下坐标互为相反数得向量、 解(1)设C就是由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵, 由 C
即,
知基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵为、 (2)首先计算得,
于就是 在基 下得坐标为、 (3) 在基 下得坐标为、
(4) 设在基 下得坐标为, 据题意有, 解此方程组可得=、 、
5.已知P[x]4得两组基 (Ⅰ):
(Ⅱ):g1(x)?x?x2?x3，g2(x)?1?x2?x3，g3(x)?1?x?x3，g4(x)?1?x?x2 （1） 求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵; （2） 求在两组基下有相同坐标得多项式f(x)、 解 ( 1 ) 设C就是由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵, 由 C
有、 ?101?1?1?1Q??110??1001M00M1 0M10M1101111011??1??1?初等行变换?0??????01???0??0010000100M1110??0M00?11? 0M011?2??1M?1?1?13?、
(2)设多项式f(x)在基(Ⅰ)下得坐标为、
据题意有0 (*) 因为
所以方程组(*)只有零解,则f(x)在基(Ⅰ)下得坐标为 ,所以f(x) = 0
习题5、3
证明线性方程组
得解空间与实系数多项式空间同构、
证明 设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换、
、
实系数多项式空间得维数也就是3, 所以此线性方程组得解空间与实系数多项式空间同构、
习题5、4
1． 求向量 得长度、 解 、
2． 求向量之间得距离、 解 、
3.求下列向量之间得夹角 (1) (2) (3) 解(1)、 (2),
、 (3),
, ,
、
3． 设为n维欧氏空间中得向量,证明: 、 证明 因为
?(???,???)?(???,???)?(???,???)?(???,???) ?(???,???)?2(???,???)?(???,???)
????所以, 从而、
2?2???????????2习题5、5
1． 在中,求一个单位向量使它与向量组 正交、 解 设向量, 则有 (*)、
齐次线性方程组(*)得一个解为 、
1111取??(1,1,1,1), 将向量?单位化所得向量?*=(,,,)即为所求、
22222． 将 得一组基化为标准正交基、
解 (1 )正交化, 取
,
?1???3???1?121?0???2???0??(?1)?(?)?1?(?,?)(?,?)??2???0? 333?3??3?13?1?23?2???1?0?????3??121(?1,?1)(?2,?2)222?1?(?)?()?(?)???1???333???1?????2??3?(2 ) 将单位化
则,,为R3得一组基标准正交基、 3.求齐次线性方程组
得解空间得一组标准正交基、
分析 因齐次线性方程组得一个基础解系就就是其解空间得一组基,所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可、
解 对齐次线性方程组得系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵
可得齐次线性方程组得一个基础解系
、
由施密特正交化方法, 取
??1??1/2???1/3???????11/2?1/3??????111?1??1??0?,?2??2??1??1?,?3??3??1??2??1/3?,
223??????004???????0??0??1???????将单位化得单位正交向量组
因为齐次线性方程组得解向量得线性组合仍然就是齐次线性方程组得解,所以,,就是解空间得一组标准正交基、
3． 设, ,… , 就是n维实列向量空间 中得一组标准正交基, A就是n阶正交矩阵,证明: , ,… , 也就是 中得一组标准正交基.
证明 因为就是n维实列向量空间中得一组标准正交基, 所以
、
第四章习题与复习题详解(线性空间)高等代数
