长方体与正方体体积公式推导

长方体与正方体体积公式推导

梧村小学 黄宝星

一、概述

本课属于人教版《数学》五下第三单元“长方体与正方体”第5课时，知识点归属空间与图形领域。本单元从学生已有的长方体与正方体的图形特征和体积单位这两部分知识出发，进一步延伸到如何计算长方体与正方体体积并用字母表示出来。

本课重在研究长方体、正方体体积公式的推导，承上启下，在单元内位置十分重要。其中，长（正）方体的体积推导与形成公式是教学重点；怎样理解若干体积单位在拼组长方体时，体积大小与长、宽、高的关系，进而理解并推导长方体的体积公式是教学的难点。

二、教学目标分析

过程与方法：

1.能借助小正方体方块的拼搭来探究长方体体积的计算方法。 2.借助长方体与正方体图形的关系来推导出正方体的体积公式

3.用小组合作、讨论方式培养学生实际操作能力，同时发展他们的空间观念。 知识与技能：

1.使学生理解长方体和正方体体积公式的推导，能运用公式进行计算。 2.培养学生空间感和空间想象能力。 3.渗透面动成体的空间概念的形成。 情感、态度与价值观：

1.使学生动手操作，推导长（正）方体体积形成过程中体验知识获取的快乐。

2.使学生在小组活动交流中，学会与人分享思想、交流看法，从而获得丰富知识。 3.培养学生严谨分析问题，猜想与论证结合的科学态度。

三、学习者特征分析

本课要求学生具备大量的平面与立体图形的知识，同时也要有一定归纳推理能力。而目前我所任教班级的学生知识面较窄，对许多生活中立体图形的积淀认知贫瘠。单靠教师讲授，学生难以深层次理解，所以需要学生真实的动手操作，来推导长（正）方体体积公式。

四、教学策略选择与设计

先让小组合作拼搭不同的长方体，让学生合作学生，试着自行推导长方体的体积计算方法，再辅助以多媒体的合理运用，以动态方式向学生展现长（正）方体空间是如何构建的，长方体的体积与长、宽、高的关系，最后帮助学生整理、归纳知识点，最终得出结论。

五、教学资源与工具设计

利用事先准备的生活中可以拿到的长（正）方体形物品，多媒体课件、软件及电子交互白板进行有效的课堂教学。

六、教学过程

一、动画激趣，初探长方体的体积大小 1.导入。

师：请同学们仔细观看这些幻灯片，看完后告诉我，你在里面发现了什么，大的长方体

里面有几个小正方体体积单位，体积是多少？ 【实现方式】：powerpoint。

【设计思路】：“若干体积单位堆砌长方体”的动画涉及本课核心知识，堆砌小方块数体积与用面积单位堆砌长方形数面积异曲同工，形成知识的正迁移，而堆砌小方块数体积这个实践操作，本身孩子也喜欢，以此导入课题会让学生接受起来更加容易。

师：这是什么立体图形？它的体积大小是多少？

师：很好。这个长方体的体积是12立方厘米，（手持一长方体包装盒）那这个长方体的体积你知道吗？也能将它切成一个一个1cm2的小方块去数吗？ 2.探索长方体与长、宽、高的关系。

在生活中，还有许多像牙膏盒这样的长方体或正方体的物体，是无法用分割单位体积的方法来知道体积大小的，现在让我们一起去看看长方形的面积是怎样推导出来的。 （多媒体课件出示：）长方形的面积由若干个面积单位叠加而成的。

请你们仔细观察，长方形的面积与长、宽的关系是什么样的？ （根据学生回答出示答案，长方体的面积=长×宽。）

师：很好，让我们看下一组正方体的面积是是怎样推导出来的。 （方法同上）

【实现方式】：自定义图片运动轨迹。

【设计思路】：借助自定义运动轨迹，展示长方形一排有几个小正方形组成，排成几排，从而推算出长方形的面积。重点在于体现了排序的思路，让接受力较弱的学生可以借鉴。 3.猜想，既然长方形面积如此推导，那么长方体的体积推导可以借鉴这种方法吗？ 二、小组合作，探索长（正）方体体积公式

1.小组合作，用1cm2的小方块拼摆不同的长方体。

小组1：我们摆的长方体体积是36 cm2。我们可以一个一个数出来。

小组2：我们摆的长方体体积是30 cm2。我们先看底下一层15个小正方体，摆了两层，

正好就是30 cm2。

小组3：我们摆的长方体体积是……（师巡视，下场指导观察） 师：接下来老师请几位同学代表小组上台摆出你们拼成的长方体。 （师请学生上台，开启投影仪让学生摆长方体。） 【实现方式】：投影仪。

【设计思路】：学生上台摆长方体并配合摆法作解释，既能展示他（她）如何算出摆成的长方体体积，在与其他学生对答中，形成生生互动，同时锻炼了学生思辨和归纳能力。 师：他们只是说摆法，但是如何算出长方体的体积，我们请他们本组的成员上台用算式写出来，好不好，可能更容易让我们明白算理。

附表：把小组内摆法不同的长方体的相关数据填入下表。

长（cm） 宽（cm） 高（cm） 小方块的数量（怎么算）

【实现方式】：学生板演。

长方体的体积（cm3） 【设计思路】：通过学生自行说和算出的四组长方体体积的数据，以及如何计算的阐述，并通过多组学习小组的不同表格数据的比较，抓住共性，形成计算长方体体积方法的建模。 2.深入研究，分析不同小组的汇总数据，得出结论。

师：看第1小组的长方体体积，他们都是用长×宽×高得到的，第2小组是先算底层几个，再看几层，最后加起来。

师问：这两组思路不同，那有没有共性呢？

生：其实底层小正方体的个数就可以用长×宽得到的，如果统一起来，这两组的最后方法也是一样的。

师总结：那么长方体的体积可以归纳成什么。 生：长方体体积=长×宽×高

师追问：长方体的长、宽、高分别用什么字母表示呢？ 生： a b h

师追问：长方体体积的字母公式怎么归纳呢？ 生： s= a × b × h 【实现方式】：学生的动手操作、讲解、板演自行推导而出长方体的体积计算公式。 【设计思路】：利用适时出现的表格数据，发挥教师的引导作用，把学生的分散的无序数据整合集中到长×宽×高的同一性来，帮助其归纳出长方体体积=长×宽×高。

师：老师还有一个问题。既然长方体体积=长×宽×高，那么正方体的体积计算应该会

怎样的呢？

生：和长方体体积计算方法一样。 师：对了，请看

长方体 正方体

师：这个集合图揭示了长方体与正方体的内在关系，说明长方体体积计算方法同样适用于正方体，你们说呢？（学生表示认同） 师：你们谁能概括一下正方体体积的计算公式？ 生（齐）：正方体体积=棱长×棱长×棱长，字母公式是：s= a × a × a或者s= a3 【实现方式】：通过实验、获取数据、归纳总结长方体体积公式，知识类比和迁移形成正方

体体积公式。

【设计思路】：学生在摆拼长方体并试图解释的过程中，就蕴含长方体体积计算的建模方式，只是学生并没有意识到，再通过表格的方式进行整理、归纳、提炼，最后形成长方体的体积计算公式，再利用长方体与正方体的关系，顺水推舟推导出正方体体积公式。 3．课堂训练，判断教学成果

师：请同学们利用公式算算 p43的做一做 （师巡视，下场指导）

师：请大家停一停，我们来看×同学的解法。（师讲评后，统计做对做错的人数） 师：请同学做一做p45的第5、6题 【实现方式】：学生在课堂练习本做，再利用投影仪展示学生解答并讲评。

【设计思路】：放手学生自己运用新学知识自行解题，容易暴露学生的思维不足，比如单位写错，不会用字母公式等等，讲练结合，及时反馈，就能发现问题，及时解决。

三、课堂小结，梳理长（正）方体体积的计算公式形成与推导 （多媒体课件展示长（正）方体体积形成的动态过程，教师讲述）

总结：长方体的体积推导是先看底面一排摆几个小正方体，再看摆了几排，算出底面小正方体个数后，再看摆了几层，最后乘起来就可以了，所以长方体的体积=长×宽×高，而正方体是长、宽、高都相等的特殊的长方体，所以正方体体积=棱长×棱长×棱长。明白吗？ 【实现方式】：在学生练习过后再总结，学生可以更深地理解长（正）方体体积公式。 【设计思路】：利用多媒体的回放，唤起学生的记忆，从而更深的理解长（正）方体体积公

式推导过程。

最后，画出教学过程流程图。同时，流程图中需要清楚标注每一个阶段的教学目标、媒体和相应的评价方式。

动画：长方形面积的推导 开始 动画导入 长方体体积大小（数一数） 其他 同学 提问反驳…拼组长方体

小结 与提升 结束 动画：长（正）方体的形成 检验教学效果 操作摆拼长方体 填写长方体体积相关数据入表格 形成长方体体积计算公式 ＋ 长方体 正方体 正方体体积 课堂练习 七、教学评价设计

一级指标 二级指标 自评 组评 师评 1．长方形面积怎样计算？ 2．长方体体积是多少？（数） 3．你摆出几个长方体？ 知识 水平 4.长方体体积怎样计算？ 5.正方体体积怎样计算？ 合计： 1.能对正方体体积计算方法提出自己的预测吗？ 2.能在小组交流中提出自己的见解吗？ 3.能自己独立根据数据推导长方体体积计算公式吗？ 实验能力 4.能根据长（正）方体的关系推导正方体体积计算公式吗？ 5.所在小组能得出长（正）方体体积计算的正确公式吗？ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆☆☆☆☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 合计： 课堂这节课里，你的表现能得几颗表现 星？ ☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ ☆（ ）颗 ☆（ ）颗 ☆（ ）颗 总计： 八、帮助和总结

利用学校已有的班级网络架构腾讯通系统，将学生用课件资源包上传至学校内网，让学生自由下载，回家后可以随时自学查阅，达到课外延伸的目的。

包括（视频、图片、文字资料、flash小游戏等。）