…………………密………2024年寒假初三学生自主学习调研
数 学
注意事项：
1、本试卷共25题，满分100分，考试时间90分钟；
2、答题前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答卷纸（试卷）相应的位置上。 一、选择题（每题2分，共20分）
1 _…__…__封__…__…__…号…试…考线 … … … … … 内 __…__…__…__…__…__请名…姓… … … … 勿 __…__…__…__…__…__答校…学… … … …题…………………… 1．
2的倒数是（ ▲ ） A．?112 B．2 C．2 D．－2
2．下列运算正确的是（ ▲ ） A．a2?a3?a6 B．?a2?3?a6 C．a2?a3?a5 D．a2?a3?23 3．2024年岁末，新冠病毒肆虐中国，极大的危害了人民群众的生命健康，据统计，截至2024年3月28日23时中国累计确诊人数约为83000人，83000用科学记数法可表示为（ ▲ ） A．83?103 B．8.3?103 C．8.3?104 D．0.83?105
4．体育课上五名同学一分钟跳绳个数如下：126，130，132，134，130．则这组数据的众数和中位数是（ ▲ ）
A．130，130 B．130，131 C．134，132 D．131，130
5．正比例函数y?2x的图像向左平移1个单位后所得函数解析式为（ ▲ ） A．y?2x?1 B．y?2x?1 C．y?2x?2 D．y?2x?2 6．如图所示，有一个角为30°直角三角板放置在一透明的长直尺上，若∠2=15°， 则∠1度数为（ ▲ ）
A．85° B．75° C．65° D．45°
（第6题）
7．下列函数中，函数值y随自变量x增大而减小的是（ ▲ ） A．y?2x B．y??12x?1 C．y?2x D． y??x2?2x?1?x＜1? 8．若点在一次函数
的图像上，且，则的取值范围为（ ▲ ）
A．
B．
C．
D．
9．小强从如图所示的二次函数y?ax?bx?c的图象中，观察得出了下面五条结论：
（1）a?0；（2）b?0；（3）a?b?c?0 ；（4）2a?b＜0. 你认为其中正确结论的个数有（ ▲ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
y
1
12x1O
1 （第10题） （第9题）
10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为（ ▲ ）
A．8cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．20cm2
二、填空题（每题3分，共24分） 11．4的平方根等于 ▲ ．
2x2?412．当x= ▲ 时，分式2的值为零．
x?2x13．分解因式：ax2?2ax?a? ▲ ．
14．已知a，b是一元二次方程x2?2x?2024?0的两个根，则a2?2b?3的值等于 ▲ 15．关于x的一元二次方程x2?2x?m?0有两个实数根，则m的取值范围是 ▲ ． 16．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，CD平分∠ACB，则
S?ACD值等于 ▲ ． S?BCDCADB （第16题）
17．如图所示，点A在反比例函数
y?kx（x＞0）的图像上，作AB⊥x轴，垂足为B，边BC在x轴上，D
为斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积6，则k的值为 ▲ ． 18．如图所示，等边△ABC的边长为4，点D是BC边上一动点，且CE=BD，连接AD，BE，AD与BE
相交于点P，连接PC．则线段PC的最小值等于 ▲ ．
三、解答题（本大题共7小题，共56分，把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19．计算：（本题满分8分，每题4分）
1?a2?2a?1?（1）|?2|?(1?2)?4； （2）?a???．
aa??0
20．（本题满分5分）已知a?1?b?2?0，求方程
a?bx?1的解． x 21．（本题满分5分）一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现
1个男婴、2个女婴的概率是多少？（请写出解题过程）
22．（本题满分8分）如图，已知抛物线y?x?4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y?x?m经过点A，与y轴交于点D． （1）求线段AD的长；
（2）沿直线AD方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C'，若点C'在反比例函数
23y??（x＜0）的图像上．求新抛物线对应的函数表达式．
x
23．（本题满分10分）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2 h，并且甲车途中休息了0.5 h，如图是甲乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图像． (1)求出图中m，a的值； (2)求出甲车行驶路程y(km)与时间x(h)的函数解析式，并写出相应的x的取值范围； (3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50 km．
24．（本题满分10分）如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC，将 △ABC沿AB翻折后得到△ABD. （1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2?AC?AE.求证：BE为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长.
25．（本题满分10分）如图，在正方形ABCD中，AB=10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E作EF⊥AE，交直线BC于点F．E从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm 的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设△BEF的面积为ycm，E点的运动时间为x秒． （1）求证：CE＝EF；
（2）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）求?BEF面积的最大值．
2
17．如图，已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，作Rt△ABC，边BC在x轴上，点D为斜边
AC的中点，连结DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为6，则k＝ 12 ．
【分析】先根据题意证明△BOE∽△CBA，根据相似比及面积公式得出BO×AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值．
【解答】解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线， ∴BD＝DC，∠DBC＝∠ACB， 又∠DBC＝∠EBO， ∴∠EBO＝∠ACB， 又∠BOE＝∠CBA＝90°， ∴△BOE∽△CBA， ∴
，即BC×OE＝BO×AB．
又∵S△BEC＝6， ∴BC?EO＝6，
即BC×OE＝12＝BO×AB＝|k|． ∵反比例函数图象在第一象限，k＞0． ∴k＝12． 故答案为12．
21．一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？
【分析】本题先利用树状图，求出医院某天出生了3个婴儿的8中等可能性，再求出出现1个男婴、2个女婴有三种，概率为． 【解答】解：用树状图分析如下：
2024年江苏太仓市寒假初三数学学生自主学习调研试卷
