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数学通讯—2013年第7期(下半月) ·教育教学研究·
大道至简———转化思想的教学智慧
———从学生的错题和困惑谈起
陈玉娟
(江苏省常州高级中学,213003)
众所周知,转化思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的数学思想方法.我们经常通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化的、简单的问题.下面笔者结合学生数学学习中的错题(指做错了的题)和困惑,谈谈如何运用等价转化和构造转化的方式来解决这些困难,体现数学中大道至简的思想.
1 简中求道———转化思想贵在“等价”
转化有等价转化与非等价转化.非等价转化其过程是充分不必要或必要不充分的,要对结论进行必要的检验或修正,如分式方程、无理方程转化为整式方程和有理方程时,求解结果必须验根.但有些非等价转化的结论是无法修正的,如分式不等式、无理不等式的求解问题.为此,必须实施等价转化.等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才能保证转化后问题的结果仍为原问题的结果.即实施等价转化时要确保其等价性,否则就会出现逻辑上的错误.
1.1 错题的发现与呈现
笔者在一类“求解不等式”问题的作业中,发现较多学生出现相同的错误.
作业题1 若m 错解1 ……. mx-1)(x-6)≤01≤0 (错解2 mx- x-6x≠6 x∈(-∞,1]∪(6,+∞)或x∈[1,6). mmmx-1≤0 (mx-1)(x-6)≤0,x-6 1,解关于x的不等式6 作业题2 已知函数h(x)=ln( x -1),若对一切x∈[0,1),不等式h(x+1-t)≤h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围. 错解 h(x+1-t)≤h(2x+2) x+1-t ≤ 2x+2 ,最终求得-1≤t≤3.1.2 错因的分析与纠正 我们在求解分式不等式和对数不等式时,经常转化为已学过的整式不等式来解决,实现数学“内容”和“形式”上的“简”.上面2个作业题的解答错误均在于应用转化思想时没有注意转化的等价性的要求,没能保证逻辑上的正确. 具体地,作业题1的错解1是化分式不等式为整式不等式时,没有注意到分母不能为零.错解2发生在解一元二次不等式时,没有分类讨论二次项系数的符号.正确的转化应是m<0, 10 6 m=0,x>6 或 1(x-)(x-6)≥0,或1m(x-)(x-6)≤0, m x≠6x≠6.最终答案应为: 1m<0时,解集为{x x≤m或x>6};m=0 1时,解集为{x x>6};0 1x≤m}. 作业题2的错误在于化简含有“对数”符号的不等式时,遗漏了真数“必须为正”的条件.等价转化的结果应是号,即为 x+1-t ≤ 2x+2 , x+1-t -1>0, -x-1≤t≤3x+3,t 最终求得t的取值 ·教育教学研究· 数学通讯—2013年第7期(下半月) 5 范围是:-1≤t<0或t=3.1.3 教学反思与拓展 笔者认为,在上述错题的教学过程中,首先应在分析错因的基础上组织学生探求正确的解题过程,共同感受转化思想如何体现在解决问题的全过程中,包括:①转化的思路是如何想到的;②方法是如何运用的;③在比较与反思中体会转化思想的简单和独到之处.其次要引导学生深层次地反思造成错误的本质原因,对数学的核心概念和重要的数学思想方法进行提升.事实上,不等式和函数是密不可分的,从函数角度看,不等式f(x)>0(或f(x)<0)(或)的解即为函数值y>0(或y<0)时,自变量x的取值范围.因此,在实施等价转化时,应在自变量x“隐含”的大前提中,即函数的定义域内思考和解决问题.所以深究其因,错误的本质是学生常犯的一个严重错误———忽视了函数的定义域!并适时进行跟踪拓展和提升,让学生进一步体会转化思想的“亮点”之一在于“简中求道”. x -4-4ln2<0.2 该不等式形式比较复杂,若直接求解,学生知识拓展例题 解不等式x+xln 储备显然不够.为此可引导学生利用不等式和函数之间的关系,转化为函数问题来解决.设函数f(x)x=x+xln-4-4ln2(x>0),首先通过求导 2 x-2 (f′(x)=2+ln2)判定f(x)在(0,2e)上单调递减,(2e -2 造法”解决的问题心存困惑,常常显示出一筹莫展的状态. 作业题3 判断方程x·lg(x+2)-1=0解的个数. 作业题4 在平面直角坐标系xOy中,对于两个相交的圆⊙O1和⊙O2,定义与⊙O1和⊙O2都相切的直线叫做这两个圆的“CT”线.若已知圆C: 222 (x-3)+(y-3)=50与圆C1:(x+1)+(y+ 1)=18存在“CT”线m,求直线m的方程. 作业题5 已知a=x+y,b=x+(x+y)y,c=p值范围.2.2 困惑解答 2.2.1 基于问题实质的分析,构造函数,化难为易 函数、方程、不等式三者密不可分,对于方程和不等式问题,可巧妙构造函数,运用函数的思想和方法来解决.如解方程f(x)=0,就是求函数y=f(x)的零点.更一般地,方程f(x)=g(x)的解就是函数y=f(x)与函数y=g(x)图象交点的横坐标. 对于作业题3,学生利用已有知识是难以直接求解原方程的,为此可转化为函数来解决.思路一是构造函数f(x)=x·lg(x+2)-1,研究它的图象与x轴的交点的个数.但该函数图象及其性质比较复杂,学生不熟悉;思路二是先把原方程等价转化为1lg(x+2)=(由题易得x≠0),从而原题就转化为 x 1 函数y=lg(x+2)与y=(x>-2,x≠0)有几个 x 交点.因为这两个函数的图象是同学们耳熟能详的,易得答案为2个. 2.2.2 基于数学本质属性的分析,构建数学模型,舍繁从简 对于作业题4,可设直线m的方程为y=kx+b(k显然存在),由直线m分别与圆C,圆C1相切可得 3k-3+b =52①2k+1 -k+1+b =32②2k+1 方程①②涉及绝对值和根式,若两边平方后化22 xy,若对于任意的正数x, y,总能以a,b,c为边构成三角形,求实数p的取 ,+∞)上单调递增.其次根据f(x)的表达 式的结构特征,直觉估算出f(4)=0.再次,利用极限思想判断出当x无限趋于0时,f(x)<0.最终根据函数y=f(x)图象,数形结合得出,当0 “构造转化”也是转化思想中常见的转化方式.它属于非常规思维,适用于对某些常规方法不易解决的问题.其主要思想是依据题设条件特点,以所求结论为方向,在思维中形成新的数学形式,使得问题在这种形式下,拥有简捷解决的方法.上述的拓展例题就体现了构造转化的思想.2.1 困惑呈现 笔者在教学中发现大多数学生对需要运用“构6 数学通讯—2013年第7期(下半月) ·教育教学研究· 简,则多项式项数多,指数高,较繁琐,不易求解.考虑到直线m是相交两圆的公切线,圆心C和C1在直线m的同旁,因此可构建“线性规划”的数学模型,根据点在直线同旁的本质特征,得出多项式3k-3+b与-k+1+b的符号相同,再依据方程组的结构特点,把①式除以②式即可化简为3k-3+b -k+1+b 5 =,从而找到了问题的突破口.最终求得直线m3的方程为y=(2+3)x+7(1+3)或y=(2-3)x+7(1-3). 2.2.3 基于问题形式特征的分析,统一模式,化繁为简 作业题5是道难题,运算复杂繁琐,需要多次转化,不断优化才能形成较为简捷的运算途径. 首先分析a,b,c的形式特征,不难发现b (x+y)-x+xy+y xy 2 1因此()=2+3,从而得到2-3 mmin 2.3 课后拓展 “构造法”需要以足够的知识经验为基础,以较强的观察能力、综合应用能力和创造能力为前提,对学生的知识水平和能力要求较高.教师需要在平常的教学中潜心渗透,在方法练习中让学生去体会,在问题解决的过程中训练学生的发散思维,开拓学生的视野,达到思想的创新.为此,课后可提供一些拓展练习.(例举文后,仅供参考) 数学的本质在于求简,数学中的“简”,笔者理解为用简明的视角,简要的设计,使数学教学力求在内容上删繁就简,形式上舍繁从简,思路上化繁为简,情境上明确简洁,语言上精炼简要等等.数学中的“道”,笔者的理解是揭示数学中的核心概念,问题实质,本质属性,统一模式,贯通线索,内蕴规律,思想方法,通法通解等等.笔者认为,数学教学应追求内容和形式上的“简”,在追求“简”的过程中寻找解决问题的途径、规律和本质.数学教学的最终归宿应该是以道求简,努力追求大道至简的境界. 拓展练习 1.设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)+xf′(x)>0,求不等式f(x+1>·f(x2-1)的解集.(答案:[1,2)) 1+x ,有三个数满足 a1-x <1, b <1, c <1,且f(a+b)=1,f(b-c) 1+ab1-bc a+c =2,求f()的值.(答案:-1) 1+ac3.已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a 2.对于函数f(x)=lg≠1). (1)若函数y= f(x)-t -1有三个零点,求t的值;(答案:t=2) (2)若存在x1,x2∈[-1,1],使得 f(x1)-f(x2) ≥e-1,试求a的取值范围.(答案a∈(0,1 ]∪[e,+∞))e (收稿日期:2013-02-17) a+b>c,b+c>a, 2 代入< (x+y)+x2+xy+y2 . xy 该不等式形式复杂,整体观察不等式两端的结构形式,发现它们的分子是互为有理化因式,两端的不等式相乘的积为1,从而可统一形式.设m=(x+y)-x2+xy+y2,则原不等式可转化为m xy m 考虑到分式m的结构形式仍比较复杂,再次观察分析,发现分子、分母都是齐次式,又x,y都是正数,若同时除以 x xy,可统一形式化为m=(y+ x-1 yxy )-++1.xyx 继续分析上述m的结构特征,发现仍可统一形式.令t= 2xy ++1(t≥3),则yx 2x +yx=y t+1,m=t+1-t,并记为m(t).根据函数m(t)在定义域内单调递减,可求得mmax=2-3,
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