2019年广东省高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={x|x﹣1<2},B={y|y=2,x∈A},则A∩B=( ) A.(﹣∞,8) 2.(5分)复数z=A.
2
x
B.(﹣∞,3) C.(0,8) D.(0,3)
﹣i(i为虚数单位)的虚部为( ) B.
2
C. D.
3.(5分)双曲线9x﹣16y=1的焦点坐标为( ) A.(±
,0)
B.(0,
)
C.(±5,0)
D.(0,±5)
4.(5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a2+a8=34,S4=38,则a1=( ) A.4
B.5
C.6
D.7
2
5.(5分)已知函数f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递减,且当x∈[﹣2,1]时,f(x)=x﹣2x﹣4,则关于x的不等式f(x)<﹣1的解集为( ) A.(﹣∞,﹣1)
B.(﹣∞,3)
C.(﹣1,3)
D.(﹣1,+∞)
6.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.3π
B.4π
C.6π
D.8π
7.(5分)执行如图的程序框图,依次输入x1=17,x2=19,x3=20,x4=21,x5=23,则输出的S值及其统计意义分别是( )
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A.S=4,即5个数据的方差为4 B.S=4,即5个数据的标准差为4 C.S=20,即5个数据的方差为20 D.S=20,即5个数据的标准差为20
8.(5分)已知A,B,C三点不共线,且点O满足16A.C.
=12=﹣12
+3+3
B.D.
﹣12=12=﹣12
n
﹣3﹣3﹣3
=,则( )
9.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+an+1=2(n∈N*),则S13=( ) A.
B.
C.
D.
10.(5分)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:将一线段AB分为两线段AC,CB,使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项,即满足
=
=
≈0.618.后人把这个数称为黄金分割数,把点
C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中,若点P,Q为线段BC的两个黄金分割点,在△ABC内任取一点M,则点M落在△APQ内的概率为( )
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A.
B.
﹣2
C.
D.
11.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+)+(ω>0),点P,Q,R是直线y=m(m>0)
,则ω+m=( ) D.
与函数(fx)的图象自左至右的某三个相邻交点,且2|PQ|=|QR|=A.
B.2
x
C.3
12.(5分)已知函数若f(x)=(kx+)e﹣3x,若f(x)<0的解集中恰有两个正整数,则k的取值范围为( ) A.(C.(
,,
] ]
B.[D.[
,,
) )
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.(5分)(2x+y)的展开式中,xy的系数为 . 14.(5分)设x,y满足约束条件
,则z=2x+y的最大值为 .
.若点D,
6
24
15.(5分)在三棱锥P﹣ABC中,AP,AB,AC两两垂直,且AP=AB=AC=
E分别在棱PB,PC上运动(都不含端点),则AD+DE+EA的最小值为 . 16.(5分)已知F为抛物线C:x=2py(p>0)的焦点,曲线C1是以F为圆心,为半径的圆,直线2=
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.
17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccosA+(1)求C;
csinA=b+a.
x﹣6y+3p=0与曲线C,C1从左至右依次相交于P,Q,R,S,则
2
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(2)若D在边BC上,且BD=3DC,cosB=
,S△ABC=10
,求AD.
18.(12分)已知五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,AB∥CD,CD=2DE=2AD=2AB=4,AC=2
,且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°.
(1)证明:AB⊥平面ADE; (2)求二面角E﹣BC﹣F的余弦值.
19.(12分)已知点(1,(1)求椭圆C的方程;
(2)过点M(0,1)的直线l与椭圆C交于不同两点P,Q(异于顶点),记椭圆与y轴的两个交点分别为A1,A2,若直线A1P与A2Q交于点S,证明:点S恒在直线y=4上. 20.(12分)随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费,某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计,得到如表:
考试情况 第1次考科目二人数 第1次通过科目二人数 第1次未通过科目二人数 男学员 1200 960 240 女学员 800 600 200 ),(
)都在椭圆C:
=1(a>b>0)上.
若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每
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次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.
(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;
(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元,求X的分布列与数学期望. 21.(12分)已知函数f(x)=(x﹣a)e(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a=2时,F(x)=f(x)﹣x+lnx,记函数y=F(x)在(,1)上的最大值为m,证明:﹣4<m<﹣3.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
,(θ为参数)
x
已知点Q(4,0),点P是曲线?l上任意一点,点M为PQ的中点,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求点M的轨迹C2的极坐标方程;
(2)已知直线l:y=kx与曲线C2交于A,B两点,若[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x+a|+2|x﹣1|(a>0). (1)求f(x)的最小值;
(2)若不等式f(x)﹣5<0的解集为(m,n),且n﹣m=,求a的值.
=3
,求k的值.
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