2024年广东省高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{y|y＝2，x∈A}，则A∩B＝（ ） A．（﹣∞，8） 2．（5分）复数z＝A．
2
x
B．（﹣∞，3） C．（0，8） D．（0，3）
﹣i（i为虚数单位）的虚部为（ ） B．
2
C． D．
3．（5分）双曲线9x﹣16y＝1的焦点坐标为（ ） A．（±
，0）
B．（0，
）
C．（±5，0）
D．（0，±5）
4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2+a8＝34，S4＝38，则a1＝（ ） A．4
B．5
C．6
D．7
2
5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（ ） A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣∞，3）
C．（﹣1，3）
D．（﹣1，+∞）
6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．3π
B．4π
C．6π
D．8π
7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（ ）
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A．S＝4，即5个数据的方差为4 B．S＝4，即5个数据的标准差为4 C．S＝20，即5个数据的方差为20 D．S＝20，即5个数据的标准差为20
8．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16A．C．
＝12＝﹣12
+3+3
B．D．
﹣12＝12＝﹣12
n
﹣3﹣3﹣3
＝，则（ ）
9．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an+an+1＝2（n∈N*），则S13＝（ ） A．
B．
C．
D．
10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足
＝
＝
≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点
C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（ ）
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A．
B．
﹣2
C．
D．
11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）
，则ω+m＝（ ） D．
与函数（fx）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝A．
B．2
x
C．3
12．（5分）已知函数若f（x）＝（kx+）e﹣3x，若f（x）＜0的解集中恰有两个正整数，则k的取值范围为（ ） A．（C．（
，，
] ]
B．[D．[
，，
） ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．（5分）（2x+y）的展开式中，xy的系数为 ． 14．（5分）设x，y满足约束条件
，则z＝2x+y的最大值为 ．
．若点D，
6
24
15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝
E分别在棱PB，PC上运动（都不含端点），则AD+DE+EA的最小值为 ． 16．（5分）已知F为抛物线C：x＝2py（p＞0）的焦点，曲线C1是以F为圆心，为半径的圆，直线2＝
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosA+（1）求C；
csinA＝b+a．
x﹣6y+3p＝0与曲线C，C1从左至右依次相交于P，Q，R，S，则
2
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（2）若D在边BC上，且BD＝3DC，cosB＝
，S△ABC＝10
，求AD．
18．（12分）已知五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，AB∥CD，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝2
，且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．
（1）证明：AB⊥平面ADE； （2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．
19．（12分）已知点（1，（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y＝4上． 20．（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费，某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计，得到如表：
考试情况 第1次考科目二人数 第1次通过科目二人数 第1次未通过科目二人数 男学员 1200 960 240 女学员 800 600 200 ），（
）都在椭圆C：
＝1（a＞b＞0）上．
若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每
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次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元，求X的分布列与数学期望． 21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）e（a∈R）． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝2时，F（x）＝f（x）﹣x+lnx，记函数y＝F（x）在（，1）上的最大值为m，证明：﹣4＜m＜﹣3．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
，（θ为参数）
x
已知点Q（4，0），点P是曲线?l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；
（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）． （1）求f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m，n），且n﹣m＝，求a的值．
＝3
，求k的值．
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2024年广东省高考数学一模试卷（理科）
