再制造企业的回收生产决策研究
摘要: 回收再制造能够降低生产成本, 节约原材料, 减少环境污染, 但是管理更加复杂, 企业需要同时优化回收与生产两方面的决策。该文通过对需求不确定环境下的再制造企业生产回收联合优化问题进行建模, 从需求分布和再制造成本、回收成本等分析出发, 运用非线性优化的方法, 求解了最优回收比例与最优总产量决策。结论表明, 在需求波动不大的情况下, 再制造带来的变动成本节约越明显, 再制造所需投资越少, 则再制造比例越高且总产量越高; 强制再制造比例政策随着生产成本结构的不同会带来再制造生产的扩张或者萎缩。研究结果为再制造厂商根据需求及成本结构合理制定生产回收决策以及政府根据生产成本特点制定再制造产业政策提供了有益的管理启示。 关键词: 再制造; 回收; 运作决策
再制造是指将废旧产品制造成与新产品品质相当的产品的过程, 是实现可持续发展的重要技术。一方面, 再制造可能降低生产成本、节约原材料、带来经济效益; 另一方面, 再制造对劳动力需求更高, 可以创造就业机会, 还能减小对环境的影响, 具有显著的社会效益。
近年来, 随着再制造成本降低、物流网络的发展、法律约束以及环保观念的增强, 再制造已经在汽车、电子等诸多领域中蓬勃发展。全球范围内, 再制造的年工业总产值估计至少在 1 000 亿美元以上。回收再制造较为典型的例子包括 Kodak 公司回收一次性相机的镜头和电路板进行再制造, Michelin 公司回收轮胎进行翻新等。近年来, 从事回收再制造的企业越来越多。在中国, 再制造也已经引起了产业界和学术界越来越多的关注。因此, 研究企业的回收及生产决策具有重要的意义。与传统的制造企业相比, 再制造企业除了生产决策之外, 还增加了回收决策, 管理的难度较大。近年对回收再制造的研究, 已成为一个较新的热点, 如对再制造相关的生产计划、回收决策、库存等优化问题进行了广泛的研究 [ 4] 。但是, 大部分研究往往限于单一的回收决策或者生产决策。生产不确定性是当前再制造研究关注的重点。再制造从废旧产品中提取有价值的部件加工成新的产品, 而废旧产品的获得往往不能够保证其提前期、数量和品质。经典的对供应不可靠及产出不确定的研究都是对传统报童模型加入生产复杂性和不确定性的因素进行扩展 [ 5-7] , 较为全面地考虑需求不确定性的影响, 主要权衡生产不足可能引起的机会损失，再制造企业的回收生产决策研究和生产过多引起的积压成本, 给出应对不确定性的最优生产策略。但是, 模型所关注的决策问题不涉及回收决策, 再制造部件的来源是给定的随机变量, 无法通过决策加以控制和调整。然而, 在企业回收实践中, 由于用户手中可供回收的废旧产品数量有限, 并且搜集难度较大, 很难形成一个充分竞争的回收市场, 企业的回收投入决策很容易影响回收的数量及品质。因此, 企业回收决策优化是一个不可回避的问题。对回收决策的研究较少, 大部分都简化了生产和需求中的随机因素, 主要从较为宏观的层面讨论确定性需求函数的模型。例如, Bakal和Akcali将定价引入再制造决策中, 认为回收数量及质量与回收价格有关, 假设线性的回收价格数量函数并进行了分析讨论。Savaskan等则认为回收数量与企业的回收投入有关, 将回收投入转换为再制造比例的函数, 以再制造比例作为决策变量进行研究。该研究对回收比例的建模是本文建模的依据。这类研究普遍采用确定性函数表述需求, 无法很好地反映市场波动的特征。而在实际运作中, 再制造厂商必须考虑到需求不确定性对回收决策的影响。可见, 既考虑回收决策的优化又考虑系统随机因素的研究相对较少。本研究结合回收决策和随机库存优化对已有模型扩展, 以报童模型框架为基础, 从再制造企业的经营实际出发, 研究需求不确定情况下的最优回收比例决策, 并发掘其管理意义。
1 模型描述
在建立模型之前, 首先定义模型中的概念:
废旧产品指再制造厂商从用户手中收回的淘汰或者报废的产品; 回收部件指从废旧产品中拆解出来的能用于产品再制造的部件; 再制造产品指再制造厂商用回收部件生产出的最终在市场上销售的产品; 常规产品指厂商用全新采购的零部件生产出的最终在市场上销售的产品。
假设1 再制造产品和全新制造产品品质没有差异, 市场对2 种产品不加区分。该假设对于某些产品是符合实际的, 如 Kodak 的一次性相机、Hewlet t-Packard 的硒鼓等。Tokt ay 等 [ 10] 和Bayindir等 [ 11] 也采用了这一假设, 滤去了异质需求和细分市场的影响, 使模型能够聚焦于成本角度考察再制造产品比例决策问题。
问题情景描述如下: 再制造厂商以一定的代价从最终用户手中回收废旧产品, 从中拆解出有价值的零部件进行回收再制造并与全新产品一同销售以满足不确定性需求D, 其分布函数为F( x) , 概率密度函数为f ( x) 。销售价格为p , 未售完的产品残值为s, 满足p > s。再制造厂商关注的焦点为再制造产品占总产量的比例和总产量q, 通过这 2 项决策最大化自身的期望利润。和q 作为决策变量, 直接决定了回收总成本 CT ( , q) 。一般来说, 再制造产品比例越高、数量越多、回收总成本越大。
对回收成本做进一步假设:
假设2 回收成本分为 2 个部分, 一部分是回收能力的建设和投资, 设为I ; 另一部分是为了获取废旧产品支付给用户的回收价格, 设为 a。I 的增加能够提高。
因此设= I / C, 其中 C 为规模参数, 将控制在[ 0, 1] 中。采用成本结构设计。该设计在营销领域的销售激励和客户保留模型中广泛使用, 如 Zhao [ 12] , Coughlan [ 13] 。在运作管理领域中, Fine 和Porteus [ 14] , Savaskan等 [ 9] 也采用过类似的模型。得到总成本为
CT ( , q) = I + aq = C 2 + aq. 同时, 平均回收成本为
A = ( I + aq) / q = ( C) / q+ a.
可见随着增加, 平均回收成本 A 相应增高, 体现出废旧产品的稀缺性, 与实际相符。再制造产品和常规产品生产成本往往不同。记常规产品的生产成本为 cm, 再制造产品的生产成本为cr。一般采用回收部件进行生产比采用新部件进行生产便宜, 有cr< cm 。总的平均成本为
cm( 1- ) + cr, 令= cm - cr , 平均成本可以表示为cm- 。
厂商的决策数学模型为: max 0 1, q0 E[ ( , q) ] = E[ p min( q, D) - C 2 - aq - ( cm - ) q+ s( q- D + ) ] . ( 1) 其中 ( q - D) + = max[ q - D, 0] .
2 最优再制造比例及影响因素分析为
了获得最优的回收比例, 首先分析期望利润函数的性质。
期望利润的Hessian 矩阵为: ( s - p) f ( q) - a - a - 2C .
从Hessian 矩阵可以看出, 期望利润关于, q 均为凹, 但是不能保证联合凹, 因而无法简单地应用一阶条件求解。回收决策的引入往往不能保证期望利润是凹函数, 给求解带来困难, 也是回收决策研究所面临的一个普遍问题。但是, 在某些特定情形下, 期望利润函数具备一些较好的性质, 从而使得问题简化, 方便求解。若D 的分布满足
f ( x ) > ( - a) 2 2C( p- s) , 则易得期望利润为联合凹。
例如当市场需求的不确定性较小, 在一个较小的区间内呈均匀分布或者截尾正态分布时, 即可满足这一条件。一般而言, 回收再制造的产品都是机械产品或者耐用品, 需求相对较为平稳。此时对最优解的分析较为简单, 可以得到如下结论:
命题1 若 D 的分布满足f ( x ) > ( - a) 2 2C( p- s) , 则有
1) 企业最优决策为不生产再制造产品( 即 * = 0) 的充要条件是 - a 0, 相应地有
q * = F - 1 p - cm p - s 。
2) 企业最优决策为只生产再制造产品( 即 * = 1) 的充要条件是- a> 0 且 ( - a) F - 1 - a+ p - cm p - s - 2C 0。
3) 企业最优决策为同时生产再制造产品和常规产品( 即 0< * < 1) 的充要条件是- a> 0 且 ( - a) F - 1 - a+ p- cm p - s - 2C< 0。此时, 对于企业的最优生产数量q * 和最优再制造比例 * 有: p( 1- F( q)) - cm + ( - a) + sF( q) = 0, - 2C+ ( - a) q = 0.
( 2)
证明: D 的分布满足f ( x) > ( - a) 2 2C( p- s) 时, 目标函数的Hessian 矩阵为负定, 因此目标函数为联合凹函数。所以该优化问题的 KKT 条件为最优解满足的充分必要条件。KKT 条件可以表达为:
p( 1 - F( q) ) - cm + ( - a) + sF( q) + 3 = 0, - 2C+ ( - a) q- 1 + 2 = 0, 1 ( - 1) = 0,
2 = 0, 3 q = 0, 1 , 2 , 3 0. ( 3a) ( 3b) ( 3c) ( 3d)
首先, 有q * > 0。在模型的基本参数设置下, 生产总是有利可图的。令= 0, 则模型退化为基本的报童模型; 在p > cm 的情况下总存在相应最优的q 使得厂商能够获得正利润; 而 q= 0 必然期望利润小于等于零, 是一个劣解。因此, q * > 0 得证, 根据 ( 3c) , 有3 = 0。 1)
证必要性: 若= 0, 由式( 3a) 可得, q= F - 1 p- cm p - s , 退化为不考虑再制造的报童模型的结果。根据式( 3c) , 有1 = 0, 将这 2 个结果代入 ( 3b) , 有( - a) q+ 2 = 0。根据式( 3d) , 有( - a) q 0, 即必须满足( - a) 0。证充分性: 若( - a) 0, 则式( 3b) 的前三项均为负, 此时必有2 > 0, 从而由式( 3c) 得出= 0。 2)
证必要性: 若= 1, 由式( 3c) 可得2 = 0。根据式( 3a) , 有 q= F - 1 - a+ p - cm p - s , 根据式 ( 3b) , 有- 2C+ ( - a) q- 1 = 0。由式( 3c) 可以得出 ( - a) F - 1 - a + p - cm p - s - 2C 0, 由此自然可同时得到- a> 0。
证充分性: 充分性的证明需要先证明一个引理, 即: 若( - a) F - 1 - a+ p- cm p - s - 2C 0, 则 ( - a) F - 1 ( - a) + p- cm p - s - 2C0。采用反证法证明该引理, 根据式( 3a) , 有 q= F - 1 ( - a) + p- cm p - s 。如果 ( - a) F - 1 ( - a) + p - cm p - s - 2C< 0, 根据式( 3b) , 有2 > 0, 由( 3c) 可导出= 0, 将其代回式( 3b) , 有- a 0, 与条件矛盾, 故原结论成立。根据该引理的结论, 从 ( - a) F - 1 - a + p - cm p - s - 2C 0 和- a> 0 得出 ( - a) F - 1 ( - a) + p - cm p - s - 2C 0, 再根据式( 3b) , 由> 0 得出1 > 0, 从而得到= 1, 充分性得证。 3)
先证必要性: 当0<< 1 时, 若 ( - a) F - 1 - a + p - cm p - s - 2C 0, 则根据式( 2) 有= 1, 矛盾, 因此有 ( - a) F - 1 - a + p - cm p - s - 2C < 0. 再证充分性: 根据吴鹏, 等: 再制造企业的回收生产决策研究 1961
( - a) F - 1 - a + p - cm p - s - 2C < 0 和- a> 0, 若= 0 或者= 1, 则由已经证明的 1) 和2) 子命题均能推出与条件相反的矛盾, 因此有 0<< 1。此时, 1 = 2 = 0, 则根据
式( 3a) 和式 ( 3b) , 和q 需要满足的式子正是式( 2) 中列出的2 个等式。证毕。
命题1 给出了模型参数在不同取值范围内相对应的最优决策, 构成了一个完整的策略。结论表明, 企业最优再制造比例决策 * 、最优总产量决策q * 与再制造产生的变动成本节约- a 以及企业回收投资的规模参数C 有紧密的关系。对( 2) 进行进一步分析, 通过代入法消去可得q * 关于- a 递增、关于C 递减, 进而可以推导出 * 关于- a 递增、关于C 递减。如果再制造的变动成本节约越大, 回收投资的规模参数越小, 则再制造比例越高, 总产量越大。相反, 如果再制造带来的变动成本节约越小, 回收投资的规模参数越大, 则再制造比例越低, 总产量也越小。并且, 当- a 和C 达到一定阈值时, 企业则会完全通过再制造产品满足市场的需求。这些数量关系变化规律以及阈值的存在对企业的经营管理具有较强的参考价值。当f ( x) > ( - a) 2 2C( p- s) 无法满足的时候, 期望利润的凹性不能得到保证。此时, 命题 1 的结论不再成立, 相应的q * 、 * 与- a、C 的单调关系也不一定存在。然而, 最优解的寻找并不十分复杂。设q ~ 、 ~ 为满足一阶条件( 2) 的解。若 f ( q ~ ) ( - a) 2 2C( p- s) , 则目标函数为拟凹, q ~ 、 ~ 为极大值点, 欲求最优解只需要考察该极大值点是否处于可行域内以及边界点期望利润的大小。若 f ( q ~ ) < ( - a) 2 2C( p - s) , 则 Hessian 矩阵具有异号的特征根, ( q ~ , ~ ) 为鞍点, 不是最优解, 又由于期望利润存在有限的上界, 最优值必定在边界点取得, 只需计算= 0 和= 1 相应的最优 q 值, 并比较相应期望利润的大小即可。由此可见, 不确定性的需求分布对最优回收比例决策具有显著的影响, 企业在进行回收再制造时, 必须对需求的分布进行细致的估计。政府为了引导产业发展可能强制规定再制造比
例。例如欧盟 2000/ 53/ ec报废汽车回收指令规定其投入市场的新款汽车的材料回收率至少要占重量的85%, 可利用率至少为 95%。在这种情况下, 再制造产品比例的取值范围由政府规定, 一定程度上成为企业决策的外生变量。的变化会对企业产量决策q 产生影响, 有如下结论:
命题2 当- a> 0 时, E[ ( , q) ] 是上模 ( supermodular) 。当- a< 0 时, E[ ( , q) ] 是下模( submodular) 。
证明: 2 E( q, ) q = - a. 当- a> 0 时, E( q, ) 是上模; 当- a< 0 时, E( q, ) 是下模。证毕。
根据T opkis [ 15] 的结论, 当- a> 0 时提高会使相应的q * ( ) 增加; 当- a< 0 时提高会使相应的q * ( ) 减小。命题2 对于政府政策制定具有一定的参考价值。当回收的变动成本高于再制造带来的成本节约( 即- a< 0) 时, 政府制定强制政策要求企业提高将导致总产量q * ( ) 降低, 会带来产业的萎缩。当回收的变动成本低于再制造带来的成本节约( 即- a> 0) 时, 政府制定强制政策要求企业提高会带来q * ( ) 的提高, 同时提高总体再制造的数量q * ( ) , 会带来相关产业的扩张。
3 数值试验
进一步通过数值试验探讨政府强制再制造比例政策对企业最优决策及相关利润的影响, 验证上节结论。参数设置如下: 需求服从 N( 100, 30 2 ) 的正态分布, 产品售价p= 8, 残值s= 1, 生产成本 cm = 6, 再制造成本cr = 2, 回收变动成本 a= 2, 回收规模参数C= 200。此参数下计算出最优产量 q * = 94, 最优再制造比例 * = 0. 47, 相应的最优利润为 166. 55。考察不同的最低再制造比例限制, 令从 10%到100%变化, 计算相应的最优生产决策以及企业利润。结果如图1 和图2 所示。
图1 最优产量变化趋势
图1 结果表明, 当政府要求的最低再制造比例小于0. 47 时, 企业的最优经营决策能够满足要求, 1962 清华大学学报 ( 自然科学版) 2010, 50( 12)
图 2最优利润变化趋势因而不受政策影响。
随着最低再制造比例要求的提高, 企业的最优总产量和最优再制造产量也相应增加, 这与命题2 的结论是相吻合的。进一步可以观察到, 相比于总产量的增加, 再制造产量增加幅度更大。图2 结果表明, 随着政府要求最低再制造比例的提高, 企业的利润逐步减小。为了维持企业的积极性, 政府可以考虑对利润减小的部分进行补贴。
4 结论及展望
本文研究了再制造企业在需求不确定情况下最优的回收比例决策和生产决策。由于回收再制造的引入, 传统报童模型目标函数的凹性性质不再满足, 通过对参数性质的细致讨论, 得出在特定参数范围内的最优决策。研究发现, 企业的回收决策受到回收成本、回收投入、再制造成本节约等诸多因素的影响。既再制造成本越低, 则再制造产品的比例越大、总产量也越高。同时, 政府制定回收比例的规范和要求时需要考虑企业的生产成本结构以及回收市场的价格水平, 根据政策的目标确定适当的回收比例。再制造企业的回收决策属于较新的研究领域, 大量重要的研究问题仍待解决。Guide 和 Van Wassenhove [ 16] 对该领域的研究前景进行了乐观展望。本文也具有较大的研究扩展空间。例如, 再制造企业的回收数量是不确定的, 这种不确定性会对企业的回收决策和生产决策产生巨大的影响。将来的研究可以进一步考虑回收不确定性的影响。本研究讨论了单周期决策模型, 但是多周期决策更接近实际, 因为废旧产品来自前期的生产和销售, 故向多周期动态决策扩展具有较大的意义。此外, 本研究考虑的是单企业决策问题, 而实际供应链的运作往往涉及多个企业, 需要供应链上下游协调决策, 并且还会面临竞争与合作, 这些问题的研究也具有巨大的现实意义, 有待进一步探索。
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再制造企业的回收生产决策研究
