高中涉及到的各种常见不等式的解法

聪明在于勤奋 天才在于积累 欢迎来到 金宏课堂 各种不等式的解法

题型一 一次不等式的解法

1?4?

若关于x的不等式ax>b的解集为?－∞，5?，则关于x的不等式ax2＋bx－5a>0的解集为

??________．

4??

答案 ?－1，5?

??

1?b14?

解析 由ax>b的解集为?－∞，5?，可知a<0，且a＝5.将不等式ax2＋bx－5a>0两边同时

??b4144

除以a，得x2＋ax－5<0，所以x2＋5x－5<0，即5x2＋x－4<0，解得－1

bx－5a>0的解集为?－1，5?.

??

题型二 二次不等式的解法 知识点：

一、一元二次不等式定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

二、标准形式的一元二次不等式：ax2?bx?c?0,(a?0)或ax2?bx?c?0,(a?0) 三、三个二次之间的关系

判别式 Δ＝b－4ac 2Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 除了胜利 我们 别无选择 第 1 页 共 15 页 聪明在于勤奋 天才在于积累 欢迎来到 金宏课堂 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 有两相异 实根x1，x2 (x1x2 或x

① 将二次项系数化为“+”：y=ax2?bx?c>0(或<0)(a>0) ① 计算判别式?，

①若??0，则求出不等式对应方程的根； ①据图象，写出解集.

五、例题讲练

类型一、求不含参数的二次不等式的解集：

1．不等式2x2－x－3>0的解集为( )

?3??A.x|－1

??3

?B.x|x>2或x<－1? ???3??D.x|x>1或x<－2? ??

答案 B

3

解析 2x2－x－3>0?(x＋1)(2x－3)>0，解得x>2或x<－1.∴不等式2x2－x－3>0的解集为

??3

?x|x>或x<－1?，故选

2??

B.

除了胜利 我们 别无选择 第 2 页 共 15 页 聪明在于勤奋 天才在于积累 欢迎来到 金宏课堂

2．不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为( ) A．?

?1???x|x＝C.2? ?

B．R

?1?

??x|x＝－D.2? ?

答案 D

解析 因为4x＋4x＋1＝(2x＋1)，所以4x＋4x＋1≤0

2

2

2

?1?

?的解集为x|x＝－2?. ??

3．不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________．

答案 {x|x<－5或x>5}

解析 2x2－3|x|－35>0?2|x|2－3|x|－35>0?

7

(|x|－5)(2|x|＋7)>0?|x|>5或|x|<－2(舍去)?x>5或x<－5. 4．对点训练

( 1 ) 2x2＋7x＋3>0； ( 2 ) －x2＋8x－3>0； 81

( 3 ) x－4x－5≤0； ( 4 ) －4x＋18x－4≥0；

2

2

1

( 5 ) －2x2＋3x－5>0； ( 6 ) －2x2＋3x－2<0.

( 7 ) x2－3x＋1≤0； ( 8 ) 3x2＋5x－2>0； ( 9 ) －9x2＋6x－1<0； (10) x2－4x＋5>0； (11) 2x2＋x＋1<0. (12) 3x2?6x?2?0 (13) 4x2?4x?1?0. (14) ?x2?2x?3?0. (15) ?x2?5x?6 (16) 3x2?7x?10 (17) ?2x2?x?5?0 (18) ?x2?4x?4?0 (19) ?2x2?x??3 (20) 12x2?31x?20?0

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