全国各地中考数学压轴题汇编
几何综合
参考答案与试题解析
一．解答题（共 18 小题）
1．（2018?无锡）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB= ， 求 AD 的长．
解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A=90°，
∴∠C=180°﹣∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．
作 AE⊥BC 于 E，DF⊥AE 于 F，则 CDFE 是矩形，EF=CD=10．
在 Rt△AEB 中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC= ，
∴BE=AB?cos∠ABE=
，
∴AE=
=
，
∴AF=AE﹣EF=
﹣10= ．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°， ∴∠ABC+∠ADF=90°，
∵cos∠ABC= ，
∴sin∠ADF=cos∠ABC= ．
在 Rt△ADF 中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF= ，
∴AD= = =6．
2．（2018 南京）如图，在四边形 ABCD 中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O 是四边形 ABCD 内一点，且 OA=OB=OD．求证：
（1）∠BOD=∠C；
（2）四边形 OBCD 是菱形．
证明：（1）
延长 OA 到 E，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
又∠BOE=∠ABO+∠BAO，
∴∠BOE=2∠BAO，
同理∠DOE=2∠DAO，
∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2即∠BOD=2∠BAD，
又∠C=2∠BAD，
∴∠BOD=∠C；
（2）连接 OC，
∠BAO+∠DAO）
（
∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO，
∴∠BOC= ∠BOD，∠BCO= ∠BCD，
又∠BOD=∠BCD，
∴∠BOC=∠BCO，
∴BO=BC，
又 OB=OD，BC=CD，
∴OB=BC=CD=DO，
∴四边形 OBCD 是菱形．
3．（2018 淮安）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，切点为 A，D，点 E 是 AC 的中点．
（1）试判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O 的半径为 2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．
解：（1）直线 DE 与⊙O 相切．理由如下： 连接 OE、OD，如图，
∵AC 是⊙O 的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵点 E 是 AC 的中点，O 点为 AB 的中点， ∴OE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵OB=OD，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
交⊙O 于
BC 点
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