（4）（2017学而思直升实战）已知?，?是关于x的一元二次方程(m?1)x2?x?1?0两个实根，且满足(??1)(??1)?m?1，则m的值为__________．
【解析】（1）1；（2）?12?m?12，且m?0；（3）?5；（4）?1．
【教师备课提示】这道题主要练习含参的一元二次方程．
例题6
（1）（2011成外）若非零实数a、b满足a?a2?b?b2??2011，且a?b，则
11a?b?_____．
（2）（2013成外）已知实数a?b，且满足(a?1)2?3?3(a?1)，3(b?1)?3?(b?1)2，则bbaa?ab的值为__________．
（3）（2017年学而思直升实战）已知2?2?3??1?0，?2?3??2?0，且???1，则??1?2??的值为__________．
【解析】（1）?12011；（2）?23；（3）?12． 【教师备课提示】这道题主要练习一元二次方程的构造． 例题7
若一元二次方程x2?kx?1?0，x2?x?(k?2)?0有相同的根，求k的值，并求两个方程的根．
【解析】设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有
a2?ka?1?0……①， a2?a?(k?2)?0……②．
①-②整理得，ka?1?a?(k?2)?0， 即(k?1)(a?1)?0，∴k?1或a?1．
当k?1时，两个方程都变为x2?x?1?0，
∴两个方程有两个相同的根x??1?51,22；
当a?1时，代入①或②都有k?0，
2017·暑假
第二讲 方程和不等式 此时两个方程变为x2?1?0，x2?x?2?0． 解这两个方程，x2?1?0的根为x1?1，x2??1； x2?x?2?0的根为x1?1，x2??2．
x?1为两个方程的相同的根．
【教师备课提示】这道题主要练习一元二次方程的公共根问题．
例题8 已知方程(k2?1)x2?3(3k?1)x?18?0有两个不相等的整数根， （1）求整数k的值；（2）求实数k的值．
【解析】（1）[(k+1)x?6][(k?1)x?3]=0，x61=k+1，x32=k?1． 因为方程有两个整数根，即k+1=?1,?2,?3,?6，k?1=?1,?3， 所以k=0,?2．
（2）由x63631=k+1，x2=k?1得k+1?x，k?1?1x，
2化简得x?3?912x?3，所以2x2?3??1,?3,?9，x2??2,?1,0,?3,3,?6，
2所以k?0,?2,?12．
【教师备课提示】这道题主要练习一元二次方程的整数根问题．
2017·暑假
演练1 解方程（组）和不等式：
?xy?1?x?3(x（1）??2??1 ??1)?7?3 （2）?2 ?3x?2y?10??1??5x3?x （3）5x?42x?4?2x?53x?6?12 （4）3x2?6x?2?0
?【解析】（1）?x?3?（2）?2?x??1；（3）无解；（4）x1515??y?1；
221?1?3，x2?1?3． 演练2
（1）若关于x的分式方程5x??k?x?x(x??)?x??有增根，则k的值为_____________．
（2）已知关于x的分式方程ax?1?2a?x?1x2?x?0无解，则a的值为_____________．
（3）（2011成外）若关于x的方程m?1x?1?2的解为正数，
则m的取值范围是______________．
【解析】（1）52或?52；（2）12或0或?1；（3）m??1且m?1．
2017·暑假
第二讲 方程和不等式
演练3 ?x???m?n（1）已知不等式组?的解集为???x??，则(m??n)?????__________．
?x???m??
?a1x?b1y?c1?3a1x?2b1y?5c1?x?3（2）若方程组?的解是?，则方程组?的解为___________．
ax?by?c3ax?2by?5cy?4??222?222
（3）关于x的不等式(?a?b)x??a??b??的解集是x?__________．
?x?15?x?3??2（4）关于x的不等式组?只有4个整数解，则a的取值范围是__________．
2x?2??x?a??34，则不等式ax?b??的解集是3
?x?5114【解析】（1）?1；（2）?；（3）x??；（4）?5?a??．
23?y?10演练4
（1）（2017青羊一诊）已知关于x的方程x2?2mx?m2?1?0有一个根为3，则m?_______．
（2）关于x的一元二次方程(???k)x???k??x????有两个不相等的实数根，则k的取值范围_______________．
（3）（2013年成外）若?，?是方程x2?2x?2007?0两实数根，则?2?3???的值_____．
（4）已知关于x的方程x??(?k??)x?k?????有两个实数根x?，x?，且x??x??k值为_______________．
【解析】（1）?2或?4；（2）???k??，且k?
2017·暑假
???，则x?x???；（3）2005；（4）或??（不要忘了验△）．
??
演练5
（1）若a2?2a?1?0，b2?2b?1?0，则ab?ba的值为__________．
（2）已知p2?p?1?0，1?q?q2?0，且pq?1，求pq?1q?__________．
【解析】（1）2或?6；（2）1．
演练6
已知k为自然数，关于x的方程x2?x?10?k(k?1)有两个整数根，求出这个方程的正整数根和k．
【解析】要得整数根，判别式必须为完全平方数或式．
原方程可化为x2?x?10?k(k?1)?0，则△?1?4[10?k(k?1)]?(2k?1)2?40，
设(2k?1)2?40?m2(m?0)，则(2k?1)2?m2?40， 所以(2k?1?m)(2k?1?m)?40，
因为2k?1?m，2k?1?m为整数， 而40?1×40?2×20?4×10?5×8，
考虑到2k?1?m，2k?1?m奇偶性相同， 且2k?1?m?2k?1?m，
故有??2k?1?m?20，??2k?1?m?2?2k?1?m?10?2k?1?m?4，
解得??k?6?k?4?m?9，??m?3．
分别代入方程可得正整数根为x?4或x?1．
所以当k?6时正整数根为4，当k?4时正整数根为1．
【提示】这道题也可以用因式分解求解．
2017·暑假
中考数学一轮复习 方程和不等式
