2010年高三数学高考易错点睛：平面解析几何4
2010年高考数学易错专题点睛：平面解析几何
【原题】过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为
2的椭圆C相交于A、21B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试
2求直线l与椭圆C的方程
【错误分析】：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键
8x2162【答案】椭圆C的方程为?y =1,l的方程为y=－x+1
99a2?b21c222
?,从而a=2b,c=b 【解析】法一 由e=?,得22a2a设椭圆方程为x+2y=2b,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上
则x1+2y1=2b,x2+2y2=2b,两式相减得，(x1－x2)+2(y1－y2)=0,
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y1?y2x?x2??1.
x1?x22(y1?y2)设AB中点为(x0,y0)，则kAB=－
x0x11，又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是－0=2y02y022－1，kAB=－1，设l的方程为y=－x+1. 右焦点(b,0)关于l的对称点设为
?y??1??x??1?x??b(x′,y′),则? 解得????y?1?byx?b?????1?2?2由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)=2b,b=
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929,a? ∴所求椭圆C的方程为1688x2162?y =1,l的方程为y=－x+1 99c2a2?b2122222
,得?,从而a=2b,c=b 设椭圆C的方程为x+2y=2b,l的方解法二 由e=?2a22a程为y=k(x－1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k)x－4kx+2k－2b=0,则
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4k22k1x1+x2=,y 直线l y=x过AB的中1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－2221?2k1?2kx1?x2y1?y2?k12k2??点(),则,解得k=0，或k=－1 若k=0,则l的方程为y=0,,221?2k221?2k2焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－
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1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一
【易错点点睛】本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式 解法二，用韦达定理 【原题】如图所示，抛物线y=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为
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?的直线l与4线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积
【错误分析】：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件
【答案】直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82
【解析】法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0由方程组??y?x?m?y?4x2,消去
y,得x2+(2m－4)x+m2=0①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)－4m=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m,
∴S△=2(5+m)1?m,从而S△
22?2m?5?m?5?m322
=4(1－m)(5+m)=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()=128 ∴S△≤82,当且
3仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号 故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82
解法二 由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0＜m＜5 ∴|MN|=42(1?m) 点A到直线l的距离为d=
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5?m?x?y?m 2
由方程组?2,消去x,得y－4 y －4m=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点
?y?4xM、N，
∴方程①的判别式Δ=(－4)+16m=16(1+m)＞0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y1+ y2=4，
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y 1·y 2=－4m,
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∴S△=
11(5?m)|y1?y2|?(5?m)(y1?y2)2?4y1y2 22521m)25151(1?m)=4(?m)(?m)(1?m) 22223 ＝4(?51?51?(?m)?(?m)?(1?m)??22?4?22??82 3????∴S△≤82,当且仅当(?521m)?(1?m)即m=1时取等号 2故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82
【易错点点睛】涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算
【原题】已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为?0,1?,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且AP?3PB．（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围．
【错误分析】：通过AP?3PB，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系
得到一个关于m的不等式
11【答案】（1）（2）（－1，－）∪（，1）
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y2x2【解析】（1）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设C:2?2?1(a?b?0)
ab222由条件知a?1且b?c，又有a?b?c，解得 a?1,b?c?2 2c2x22?1 故椭圆C的离心率为e??，其标准方程为：y?1a22??y＝kx＋m（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）?22
??2x＋y＝1
得（k＋2）x＋2kmx＋（m222
－1）＝0
－2kmm－1
Δ＝（2km）－4（k＋2）（m－1）＝4（k－2m＋2）>0 （*）x1＋x2＝2， x1x2＝2
k＋2k＋2
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