解决椭圆部分问题新思路——化椭为圆
——山西大学附中 刘嘉信
一、概念及基本推导
化椭为圆，顾名思义，就是把椭圆变成圆。那如何实现这一点呢？这里我们以中心在坐标系原点O点，长轴在X轴上椭圆为例，看看如何将椭圆变成一个圆（在本文中默认a>b>0）： 椭圆标准方程为：
将（1）式中左右两边同时乘以a可得：
我们可以设，代入（2）式消去y就有：
2x2?z2?a2......(3)
这时，我们可以发现，（3）式中形式就是xoz坐标系里面一个以坐标原点为圆心、以a为半径一个圆。这时我们就把一个xoy坐标系里面椭圆成功变成了一个xoz坐标系里面一个比较特殊圆。
实际上，我们可以发现，这个方法本质就是把y轴人为地拉长为原来倍，变成xoz坐标系。
二、应用
无论什么理论，有实际应用才有价值，那么那么这个方法到底有什么用处呢？
我们知道，一般情况下，解决椭圆及直线关系等问题时，我们需要联立、求解或者用韦达定理求解出x1?x2或者是x1x2，较为繁琐，计算量较大，原因就是椭圆几何性质太少，没有办法直接作出判断。但是，在我们把椭圆变成圆以后，我们就可以利用远一些性质来解决一些问题。
1、 判断直线及椭圆位置关系。
比如我们已知一条直线L：Ax?By?C?0(AB?0)......(1) 我们还知道一个椭圆C：
我们可以用上面方法，设，代入（1）、（2）式得到：
Ax?Bbz?C?0......(3) ax2?z2?a2......(4)
这时候，我们就可以看出来：（3）式是xoz坐标系里面一条直线，而（4）式是xoz坐标系里面一个圆心为（0,0）、半径为a一个圆。这样我们就可以用点线距离和半径关系来判断椭圆C和直线L位置关系。
设d为（0,0）到（3）表示直线L’距离，则有：
既然知道了一个圆圆心及一条直线距离和这个圆半径，那么二者位置关系就十分好判断了。 2、 弦中点问题
弦中点问题是我起一个名字。在椭圆中这类问题可以用化椭为圆方法来解决。由于从xoy坐标系变成xoz坐标系以后，原来弦中点仍然是中点，所以我们就可以连接圆心（即坐标原点）和这个中点，制造出一个垂直（弦垂直平分线）。下面我举个例子：
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【例1】已知椭圆C标准方程为：，求该椭圆所有斜率为2弦中点轨迹方程。
【解析】我们用上面方法就可以把椭圆变成：x2?z2?16。由于我们是要在xoz坐标系里面做工作，所以必须把直线也变进来。设这些弦所在直线方程为：y?2x?b，把y代换成z就有：z?4x?2b。
我们知道，圆里面弦中点及圆心（这里是坐标原点）连线及这条弦所在直线垂直，所以，很明显就有这些中点一定分布在直线上面，即。因为弦中点一定在椭圆内部，所以我们只需再加上范围即可。不必再用原来代入消元求解方法，十分简洁。
【例2】已知椭圆C标准方程为：，P、Q为椭圆C上两点，直线OP、OQ斜率乘积为?求|OP|+|OQ|。
【解析】设P(x1,y1)，Q(x2,y2)
我们可以按照上面方法把C方程变成x2?z2?16，于是在xoz坐标系里面，有：
1。4z1?2y1，z2?2y2。因为OP、OQ过原点，所以，；变成xoz坐标系后，因为z1?2y1、
'?2kOP?z2?2y2，所以kOPz12y1z2y2'?、kOQ?2kOQ?2?。又因为，所以有x1x1x2x2''kOP?kOQ??1，即在xoz坐标系中，OP⊥OQ，所以|x1|?|z2|。所以： 22x12?y12?x2?y212122z1?x2?z244112322?(x12?z12)?(x2?z2)?(x12?x2) 444?4?4?12?x12??20
三、注意
对于这种方法，我们必须注意两点：
1、 对于大多数给定某一个角度题目，这个方法并不适用，因为角经过对y轴拉伸之后就变
了，失去了原来集合性质，不适合用这种方法。
2、 对于求某一段距离长问题，如果用这种方法，就需要求出两个点坐标，因为距离经过变
换以后也可能变得不同。
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