学 校 姓 名 阅卷人 七、（本大题共3小题，每小题6分，总计18分）
得 分 （1）?11?tanxdx.
解
?11?tanxdx??cosxsinx?cosxdx?12?cosx?sinx?cosx?sinxsinx?cosxdx（2分） ?1?2???1?cosx?sinx?sinx?cosx??dx?1?2??x??1sinx?cosxd(sinx?cosx)???（4分） ?12(x?ln|cosx?sinx|)?C.（6分） （2）?sin(lnx)dx.
解：
?sin(lnx)dx?xsin(lnx)??x?cos(lnx)?1xdx（2分） ?xsin(lnx)?[xcos(lnx)??x[?sin(lnx)]1xdx]（4分） ?xsin(lnx)?xcos(lnx)??sin(lnx)dx所以
2?sin(lnx)dx?x[sin(lnx)?cos(lnx)]?C.（5分）
故
?sin(lnx)dx?x2[sin(lnx)?cos(lnx)]?C.（6分）
sin2x （3）??dx.
?1?e?x44?解 由于
?a?af(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx，（2分）
0axsin2xsin2x1?2?e???sin2x（4分） 而f(x)?f(?x)???sinx??xxxx??1?e1?e?1?e1?e?sin2x1?cos2x2444所以 ??dx?sinxdx?dx ??00?1?e?x24
???1?1?4??2??x?sin2x??.（6分） 248??0?
阅卷人 得 分 x 八、（本题10分）设f?(x)在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)?0，证明：
证 ?af?(t)dt?f(x)?f(a)?f(x),
?bxf?(t)dt?f(b)?f(x)??f(x),（3分）
xb两式相减，得
2f(x)??所以
af?(t)dt??f?(t)dt，（5分）
x2|f(x)|??axaf?(t)dt??bxf?(t)dt（7分）
bba??|f?(t)|dt??|f?(t)|dt??|f?(t)|dt（9分）
xx即
1b|f(x)|??|f?(x)|dx.（10分）
2a共 四 页 第 3页
阅卷人 得 分 九、（本题8分）已知函数f(x)具有二阶导数，且limx?0f(x)?0，f(1)?0，x 证明：存在点??(0,1)，使得f??(?)?0.
f(x)?1，得f(0)?0，f?(0)?0， （2分） x证明：由limx??函数f(x)在[0，1]连续，（0，1）可导，f(0)?f(1)?0，由罗尔定理，至少存在x0?(0,1)使f?(x0)?0。 （6分）
函数f?(x)在?0,x0?连续，(0,x0)可导，f?(0)?f?(x0)?0，由罗尔定理，至少存在??(0,x0)?(0,1)使
f??(?)?0 （10分）
阅卷人 得 分 十、（本题10分）设f(x)为连续函数，且满足f(x)?e??(x?t)f(t)dt，
2x0x 求f(x).
解 将上式两边对x求导，得f?(x)?2e2x??x0f(t)dt，（2分）
再对上式求导，得f??(x)?4e2x?f(x)，即f??(x)?f(x)?4e2x。（4分）
由已知条件，可知f(0)?1,f?(0)?2。（6分）
因此所求函数
y?f(x)满足下列初值问题
??y???y?4e2x,|?1,y?|?2， ?yx?0x?0其通解为Y?C?C4x1cosx2sinx?5e2（8分）。
根据初值条件，得C121?5,C2?5。
从而所求的函数为f(x)?15cosx?242x5sinx?5e（10分）
共 四 页第 4页
大连市高等数学竞赛试题B答案
