学 校 大连市第二十三届高等数学竞赛试卷答案（B）
阅卷人 一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，总计10分）
得1. lim ? 分 n n???n?1??n?1??= e^2 . 2. limtanx?sinxx?0x3= 1/2 . 3. xlim?0?xx= 1 . x24. lim?costdt0x?0x= 1 .
5.
若limx2?ax?b2x?2?2,则(a,b)?(?4,5).
x?1x? 阅卷人 得 分 ?31 二、（本题10分）设f(x)???xsinx(x?0), ??1(x?0),解 当x?0时，
f(x)?x3sin1x为一初等函数，这时
f?(x)?3x2sin1?x3?1??1?x??cosx?????x2??（6分）?3x2sin1x?xcos1 x;当x?0时，由于
lim1x?0f(x)?limx?0x3sinx?0?f(0),（8分） 所以f(x)在x?0处不连续，由此可知f(x)在x?0处不可导。（10分）
求f?(x). 题 号 分 数 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷人 得 分 x2?x1f(x)?1?二、 三、（本题8分）求函数的间断点，并判断类型. x2?1x2解：x?0,x?1,x??1为间断点。（3分）
当x?0时，
x1?x2由于lim?0?f(x)?limx?0?x?1|x|?1,
xlimx1?x2而x?0?f(x)?limx?0?x?1|x|??1, 所以x?0是跳跃间断点。（5分） 当x?1时，
limx?1f(x)?limx1?x2由于1x?1|x|?1,
x?所以x?1是可去间断点。（7分） 当x??1时， 而limx??1f(x)??,
所以x??1是无穷间断点。（8分）
考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页 第 1页
学 校 姓 名 阅卷人 四、（本题10分）曲线6得 分 y?13x(x?0)上哪一点处的法线在y轴上的截距最小？ 解 设y?13x6在(x,y)处的法线方程为 Y?y?k(X?x)， 因为y??2x5，所以k??112x5，法线方程为 Y?y??2x5(X?x)，（4分）
整理后为 Y?y?X2x5?12x4??12x5X?1162x4?3x，
法线在y轴上的截距为 b?12x4?163x。（6分） 求此函数的极值：令b??0，解得x1?1,x2??1（舍去）;（8分）
b???10x6?10x4,b??(1)?20?0, 故b(1)为极小值。由于驻点唯一，知它即是最小值，因此曲线在点??1,1??3??处的法线在y轴上截距最小。（10分）
阅卷人 得 五、（本题6分）求y?sin4x?cos4x的n阶导数. 分 4422222解 y?sinx?cosx?(sinx?cosx)?2sinxcosx
11?1?cos4x??1?sin22x?1???22?2?（2分） 31??cos4x,44
1?y??(?sin4x)?4?40cos(4x?)（3分）
42y???4cos(4x?2?)（4分）
2???(n)n?1所以y?4cos(4x?n?).（6分）
2六、（本题10分）讨论方程lnx?ax（其中a?0）有几个实根？ 阅卷人 得 分 f (x)?lnx?ax,x?(0,??)，则f?(x)?1?a，故x?1为f(x)的驻点（2分）。 解：设xa 111当x?时，f?(x)?0，当x?时，f?(x)?0，所以f()为最大值。（4分）
aaa11当f()?0时，即?lna?1?0,即0?a?时，由于
aex?0??limf(x)???,limf(x)??? ，
x??1时，此时方程有两个根。（8分） e11当f()?0时，即a?时，此时方程有一个根。（9分）
ae11当f()?0时，即a?时，方程无根. （10分）
ae所以当0?a? 共 四 页 第 2 页
大连市高等数学竞赛试题B答案
