最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案9-2

同济大学第六版高等数学上下册课后习题

答案9-2

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习题9?2

1? 计算下列二重积分?

(1)??(x2?y2)d?? 其中D?{(x? y)| |x|?1? |y|?1}?

D 解 积分区域可表示为D? ?1?x?1? ?1?y?1? 于是

1dx ??(x2?y2)d???dx?(x2?y2)dy??[x2y?1y3]?1?1?1?13D1111?8? ??(2x2?1)dx?[2x3?2x]??133313 (2)??(3x?2y)d?? 其中D是由两坐标轴及直线x?y?2所围成的闭区域?

1D 解 积分区域可表示为D? 0?x?2? 0?y?2?x? 于是 ??(3x?2y)d???dx?D022?x0xdx (3x?2y)dy??[3xy?y2]2?00222?20? ??(4?2x?2x2)dx?[4x?x2?2x3]0033 (3)??(x3?3x2y?y2)d?? 其中D?{(x? y)| 0?x?1? 0?y?1}?

D4x 解 ??(x?3xy?y)d???dy?(x?3xy?y)dx??[?x3y?y3x]1dy 00004D323113231yy2y4111113 ??(?y?y)dy?[??]0????1?

04424424 (4)??xcos(x?y)d?? 其中D是顶点分别为(0? 0)? (?? 0)? 和(?? ?)的三角形闭区域?

1D

解 积分区域可表示为D? 0?x??? 0?y?x? 于是?

xdx ??xcos(x?y)d???xdx?cos(x?y)dy??x[sin(x?y)]0?x?D000 ??x(sin2x?sinx)dx???xd(1cos2x?cosx)

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??x(1cos2x?cosx)|??02 ?

1cos2x?cosx)dx??3?? (?022? 2? 画出积分区域? 并计算下列二重积分?

(1)??xyd?? 其中D是由两条抛物线y?x? y?x2所围成的闭区域?

D 解 积分区域图如? 并且D?{(x? y)| 0?x?1? x2?y?x}? 于是 ??xyd???dx?2D1x0x31xydy??x[2y2]x2xdx??(2x4?2x4)dx?6?

030335517 (2)??xy2d?? 其中D是由圆周x2?y2?4及y轴所围成的右半闭区域?

D 解 积分区域图如? 并且D?{(x? y)| ?2?y?2? 0?x?4?y2}? 于是 ??xyd??dy?D?2224?y20xy2dx??[1x2y2]04?ydy

?22222 ??(2y2?1y4)dy?[2y3?1y5]2?64? ?2?2231015 (3)??ex?yd?? 其中D?{(x? y)| |x|?|y|?1}?

D 解 积分区域图如? 并且

D?{(x? y)| ?1?x?0? ?x?1?y?x?1}?{(x? y)| 0?x?1? x?1?y??x?1}? 于是 ??eDx?yd???edx??10xx?1?x?1edy??edx?00y1x?x?1x?1eydy

1x?1xy?x?12x?1?e?1)dx??(e?e2x?1)dx ??ex[ey]?x?1dx??e[e]x?1dy??(e?10?100112x?1]1?e?e?1? ?[1e2x?1?e?1x]0?1?[ex?e022 (4)??(x2?y2?x)d?? 其中D是由直线y?2? y?x及y?2x轴所围成的闭区域?

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解 积分区域图如? 并且D?{(x? y)| 0?y?2? 1y?x?y}? 于是

2 ??(x?y?x)d???dy?D0222yy21122322y(x?y?x)dx?[x?yx?x]ydy 03222? ??(19y3?3y2)dy?13?

024862 3? 如果二重积分??f(x,y)dxdy的被积函数f(x? y)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积?

D即f(x? y)? f1(x)?f2(y)? 积分区域D?{(x? y)| a?x?b? c? y?d}? 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积? 即

??f1(x)?f2(y)dxdy?[?f1(x)dx]?[?f2(y)dy]

Dacbd 证明 ??f1(x)?f2(y)dxdy??dx?f1(x)?f2(y)dy??[?f1(x)?f2(y)dy]dx?

Ddbdbdacac而 ?f1(x)?f2(y)dy?f1(x)?f2(y)dy?

ccd故 ??f1(x)?f2(y)dxdy??[f1(x)?f2(y)dy]dx?

Dacbd由于?f2(y)dy的值是一常数? 因而可提到积分号的外面? 于是得

cd ??f1(x)?f2(y)dxdy?[?f1(x)dx]?[?f2(y)dy]

Dacbd

4? 化二重积分I???f(x,y)d?为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的

D两个二次积分)? 其中积分区域D是?

(1)由直线y?x及抛物线y2?4x所围成的闭区域?

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解积分区域如图所示? 并且

D?{(x? y)|0?x?4, x?y?2x}? 或D?{(x? y)| 0?y?4, 1y2?x?y}?

4所以 I??dx?042xxf(x,y)dy或I??dy?y2f(x,y)dx?

044y (2)由x轴及半圆周x2?y2?r2(y?0)所围成的闭区域?

解积分区域如图所示? 并且

D?{(x? y)|?r?x?r, 0?y?r2?x2}? 或D?{(x? y)| 0?y?r, ?r2?y2?x?r2?y2}?

所以 I??dx??rrr2?x20f(x,y)dy? 或I??dy?0rr2?y2?r2?y2f(x,y)dx?

(3)由直线y?x? x?2及双曲线y?1(x>0)所围成的闭区域?

x 解

积分区域如图所示? 并且

D?{(x? y)|1?x?2, 1?y?x}?

x 或D?{(x? y)| 1?y?1, ?1?x?2}?{(x? y)|1?y?2, y?x?2}?

2y所以 I??dx?1f(x,y)dy? 或I??1dy?1f(x,y)dx??dy?f(x,y)dx?

1x2y2x12221y仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13