高数总复习(上)
一、求极限的方法：
1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若limf(x)?A,limg(x)?B, 则
(加减运算) lim[f(x)?g(x)]?A?B (乘法运算) limf(x)g(x)?AB (除法运算) 若B?0,limf(x)g(x)?AB 推论1: limf(x)?A,lim[f(x)]n?[limf(x)]n?An (n为正整数)
推论2: limcf(x)?c[limf(x)]
②结论1:??a0ab,当m?n 0xm?a1lim1xm???a0m?1x?amx??b0xn?b1xn?1??b????0,当m?nn?1x?bn???,当m?n??结论2: f(x)是基本初等函数，其定义区间为D，若x0?D，则
limx?xf(x)?f(x0)0 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；
①定义1: 若limx?xf(x)?0或（limf(x)?0） 0x??则称f(x)是当x?x0 (或x??)时的无穷小. 定义2: ?,?是自变量在同一变化过程中的无穷小:
若lim???1, 则称?与?是等价无穷小, 记为??.
②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.
性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
1
推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设?~??,?~??,
且lim????存在, 则
lim???lim?????lim????lim???. (因式替换原则)
常用等价无穷小:
sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,
1?cosx~1x2,ex?1~x,?1?x??2?1~?x,ln?1?x?~x,
ax?1~xlna,?x?0?
3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；
①准则I(夹逼准则)若数列xn,yn,zn(n=1,2,…)满足下列条件: (1)yn?xn?zn(n?1,2,3,);
(2)limn??yn?limn??zn?a,
则数列xn的极限存在, 且limn??xn?a.
②准则II: 单调有界数列必有极限.
4、利用两个重要极限。
limsinx1x?0x?1 lim(1x?0?x)x?e lim(1x???1x)x?e 5、利用洛必达法则。
未定式为00,??,???,0??,0?类型. 2
①定理(x?a时的00型): 设
(1)limx?af(x)?limx?aF(x)?0;
(2) 在某U(a,?)内, f(x)及F(x)都存在且F(x)?0; (3)limf?(x)?aF?(x)存在(或为无穷大)
x则，limf(x)x?aF(x)?limf?(x) x?aF?(x)
二、求导数和微分 ： 1.定义
①导数：函数y?f(x)在x?x0处的导数：f?(xf(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)0)?limx?xx?x?lim.00?x?0?x
函数y?f(x)在区间I上的导函数：
f(x)?f(x??x)?f(x)dy?limx?0?x?dx.
②函数的微分：dy?f?(x)dx.
2.导数运算法则（须记住P140导数公式）
① 函数和差积商求导法则：函数u(x)、v(x)可导，则：
3
高等数学_大一_上学期知识要点
