2024届高考数学压轴题专项训练（一）
1设Sn为数列{an}的前项和，已知a1?0，2an?a1?S1?Sn，n?N?
(Ⅰ)求a1，a2，并求数列｛an｝的通项公式； (Ⅱ)求数列｛nan｝的前n项和．
2.如图所示,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是正方形,对角线AC与BD交于点F,侧面SBC是边长为2的等边三角形,E为SB的中点. (1)证明:SD∥平面AEC;
(2)若侧面SBC⊥底面ABCD,求斜线AE与平面SBD所成角的正弦值.
3.已知Q为圆x2+y2=1上一动点,Q在x轴,y轴上的射影分别为点A,B,动点P满足=,记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程;
(2)过点(0,-)的直线l与曲线C交于M,N两点,判断以MN为直径的圆是否过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.
答案
2a1?a1?S1?S1?a1?0,a1?1. 1.解(Ⅰ) ?S1?a1.?当n?1时，当n?1时，an?sn?sn?1?2an?a12an?1?a1??2an?2an?1?an?2an?1- S1S1?{an}时首项为a1?1公比为q?2的等比数列，an?2n?1,n?N*.
（Ⅱ）设Tn?1?a1?2?a2?3?a3???n?an?qTn?1?qa1?2?qa2?3?qa3???n?qan
?qTn?1?a2?2?a3?3?a4???n?an?1
上式错位相减：
(1?q)Tn?a1?a2?a3???an?nan?1?Tn?(n?1)?2n?1,n?N*．
1?qn?a1?nan?1?2n?1?n?2n
1?q
2.(1)证明:连接EF,易证EF为△BDS的中位线, 所以EF∥DS.
又因为SD?平面AEC,EF?平面AEC, 所以SD∥平面AEC.
(2)解:取BC的中点为O,AD的中点为M,连接MO,则MO⊥BC,
因为侧面SBC⊥底面ABCD, 所以OM⊥平面SBC, 又OS⊥BC,
所以可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
则A(0,-1,2),E(,-,0),S(,0,0),B(0,-1,0),D(0,1,2), 从而=(,,-2),
=(0,2,2),=(,1,0),
设平面BDS的一个法向量为m=(x,y,z), 则即取x=1, 则y=-,z=, 所以m=(1,-,),
设斜线AE与平面SBD所成的角为θ,
=
.
,
3.解:(1)设Q(x0,y0),P(x,y), 则+=1, 由=得
代入+=1,得+y2=1, 故曲线C的方程为+y2=1. (2)假设存在满足条件的定点, 由对称性可知,该定点在y轴上, 设定点为H(0,m),
2024届高考数学压轴题专项训练(一)
