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（江苏专用）2024版高考数学专题复习 专题4 三角函数、解三角形
第30练 三角函数综合练练习 理
训练目标 (1)三角函数图象、性质的应用；(2)三角函数与解三角形的综合． (1)讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象、性质；(2)三角变换和三角函数的训练题型 结合；(3)三角函数与解三角形． (1)讨论三角函数的性质，可先进行三角变换，化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形解题策略 式或复合函数；(2)解题中贯穿整体代换、数形结合思想；(3)三角函数和解三角形的综合问题，一定要结合正弦、余弦定理，利用三角形中的边角关系. 3π??cos?α－?10?π?
1．(2015·重庆改编)若tan α＝2tan ，则＝________.
5π??sin?α－?5??2．已知α∈R，sin α＋2cos α＝
10
，则tan 2α＝________. 2
3．已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm.
2
?π7π?4．当x∈?，?时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．
6??6
111?π??π?5．若cos α＝，cos(α＋β)＝－，α∈?0，?，α＋β∈?，π?，则β＝________.
2?714??2?6．(2016·扬州一模)函数y＝sinx＋cos(x－________________________．
π?π?7．(2016·全国乙卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω＞0，|φ|≤?，x＝－为f(x)
2?4?的零点，x＝________．
π??8．将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ?0＜φ＜?个单位后得到函数g(x)的图象，若
2??π
对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝________.
3
9.如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，
π?π5π?为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在?，?上单调，则ω的最大值为
4?1836?
2
2
π
)的单调增区间是3
B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，
2
∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．在A地测得该仪器至最高点H时的
171
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仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH＝________ m．(声音在空气中的传播速度为340 m/s)
10．(2016·黄冈适应性测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f(x)πππ2
＝2sin(x＋)－cos 2x，x∈[，]在x＝A处取到最大值．
342(1)求角A的大小；
23
(2)若b＝4，c＝a，求△ABC的面积．
3 2
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答案精析
3
1．3 2.－ 2 1 2
4
1?π?解析 ∵cos α＝，α∈?0，?，
2?7?43
∴sin α＝.
7
11?π?又∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈?，π?， 14?2?53
∴sin(α＋β)＝，
14∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
1
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝.
2
?π??π?又∵α∈?0，?，α＋β∈?，π?，
2???2?
π
∴β∈(0，π)，∴β＝.
3
π5π
6．[kπ－，kπ＋]，k∈Z(开区间也正确)
12122π
1＋cos2x－
31－cos 2x解析 原式＝＋
22
1333
＝1＋(－·cos 2x＋sin 2x)＝1＋
2222
πππππ5π
sin(2x－)．令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
32321212π5π
故所求增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.(开闭均可)
12127．9
π
解析 因为x＝－为f(x)的零点，
4
ππ?π?Tπ4k＋14k＋12πx＝为f(x)图象的对称轴，所以－?－?＝＋kT，即＝T＝·，所以ω44?4?4244ω5πππT2π?π5π?*
＝4k＋1(k∈N)，又因为f(x)在?，?上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，
36181222ω?1836?由此得ω的最大值为9. 3
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解析 因为g(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)， 所以|f(x1)－g(x2)|
＝|sin 2x1－sin(2x2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin 2x1≤1， －1≤sin(2x2－2φ)≤1，
所以sin 2x1和sin(2x2－2φ)的值中，
一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1，则2x1＝2k1π＋π
－2φ＝2k2π－，k2∈Z，
2
2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z， 得|x1－x2|＝?
π，k1∈Z,2x22
?k1－k2π＋π－φ?.
?2??
πππ
因为0＜φ＜，所以0＜－φ＜，
222
πππ
故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝－φ＝，则φ＝. 2369．1403
2
解析 由题意，设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40) m．在△ABC中，由余弦定理，得
17
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以CH＝AC·tan∠CAH＝1403(m)．故该仪器的垂直弹射高度CH为1403 m. π2
10．解 (1)f(x)＝2sin(x＋)－cos 2x
32π
＝1－cos(2x＋)－cos 2x
313
＝1＋cos 2x＋sin 2x－cos 2x
22＝1＋31π
sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)＋1. 226
ππππ5π又x∈[，]，所以≤2x－≤，
42366
πππ
所以当2x－＝，即x＝时，函数f(x)取到最大值．
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4
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π
所以A＝.
3
(2)由余弦定理知a＝b＋c－2bccos A， 422312
即a＝16＋a－2×4×a×，
332解得a＝43，c＝8，
113
∴S△ABC＝bcsin A＝×4×8×＝83.
2
2
2
2
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江苏专用2024版高考数学专题复习专题4三角函数解三角形第30练三角函数综合练练习理
