9一质量为m的质点受两体谐振势V(r)=r2的有心力作用.初始时质点沿半径为r的圆轨道运动.（1）求出质点圆轨道运动的速度υ0.（2）如果质点在轨道平面内受到一与速度成α角的大小为I=mυ0的冲量作用,求质点在此后的运动中离力心的最大和最小距离.（3）当α=0和
α=π时,从物理上对你所得的结果分别作出解释.
r
k2
解：（1）
&&=mrdυ(r)dr=kr因为:&&r=
&rdr&&kdr==rdtdrm&&=故有:rdrkrdrm&=积分得：rkr=υ0m（3）由质点和谐振动系统组成的系统能量守恒,当受到冲量I之后
11
E=kr2+mυ02[(1+cosα)2+sin2α]
22
121kr2=kr+m?(2+2cosα)22m此时：h=r2θ&=rυ0(1+cosα)=(1+cosα)r2km&±=0但有：当运动到极点处r11
E=kr±2+m(r±θ&±)2
2212mh2=kr±+222r±
12(1+cosα)2kr4=kr±+22r±2
整理得方程：
可解出：
得：
r±4?r2r±2(3+2cosα)+(1+cosα)r4=0
1r2
r±=[3+2cosα±(5+4cosα)2]
22
1r3+2cosα±(5+4cosα)22r±=
（3）*1α=0时：r±=r5±3,r?=r,r+=2r2&=0，此时:冲量的作用使速度在同方向变为2倍,由于此处r故此处
为一极点：r?=r。
到达另一极点处,恢复到切向υ=υ0，且h=υ0r+=2υ0r得：r+=2r*2α=π时：r±=r2±1,r?=0,r+=02同理,冲量作用使υ=0（后瞬间）,故此处为一极点r+=r到电达一极点时,恢复切向υ=υ0,且：h=υ0r?=0得：r?=010一彗星在近日点处离太阳的距离是地球轨道半径的一半（假设地球作圆轨道运动），在该处彗星的速率是地球轨道速率的二倍。试从守恒定理出发。（1）求出慧星轨道与地球轨道相交处慧星的速率（2）问此慧星的轨道是椭圆，抛物线还是又曲线？为什么？（3）它能脱离太阳系吗？
解：（1）设地球绕日轨道半径为R,速率为υ0,此慧星质量为m,速率
为υ,有：mυR2?得：υR=2υ02?1
2
GMsm1GMsm2GMsm=mυR2?=2mυ02?
RR2R2
22×30km 42.4kmssGMs=2υ0 2R（2）此慧星的能量
GMsmGMs12
E=mυR2?=2m(υ0?)=0
R2R2
2即：其轨道是抛物线
（3）在抛物线型轨道中：r+→∞即能脱离太阳系。
11．由于核电荷部分地被原子中的电子所屏蔽，屏蔽库仑势为
k?raV(r)=?e，其中k=Ze2>0。Z为原子序数。试讨论电子在上述势场
r中作圆轨道运动时的稳定条件。解：电子运动时的等效势能
dU(r)
U(r)
mh2mh2k?ra=2+V(r)=2?e2r2rrmh2kk?rar2?ra2
稳定条件：=?3+(2+)e=0得：mh=k(r+)edrrrarad2U(r)dr2
3mh221?r1kk?r=4?k(3+2)ea?(2+)ea>0rrararar得：r2?ar?a2<0解出r<(1+5)a（注:r>(1?5)a无意义）
12．地球轨道的偏心率e=0.0167。今若沿其半短轴将椭圆轨道分割为两半，证明地还需在这两个半轨道运行的时间分别为：τ±=(±)T，计算一下它们相差多少天？
1e2π12
12
证明:（几何法,开普勒第二定律）,分割点到日心连线与弧线围
πab±bcπ1c1e成面积A±=ab±bc=2A=(±)A=(±)A2πab2πa2πA1cτ±=±T=(±)AA2πa2e2×0.0167×365
相差 t=τ+?τ?=T=d 3.88dπ3.14
13．质量为m的质点在有心斥力场mc3中运动，式中r是力心到质点
rr
的距离。c为常数。当质点离力心很远时，质点的速度为υ∞，瞄准距
离是ρ。试求质点与力心间可能达到的最近距离d。
解：依能量与动量守恒可得：
?mυ∞ρ=mυd?
d?1122mc3)dr=1mυ2+mcmυ=mυ+(?∞?∫∞r222d2?2
可解得：d=(ρ+
2
cυ2∞
)
1
2
14．试求出上题中质点受力心散射后的散射角?，并求出微分散射截面。
解:依题知,散射舅迹为双曲线,从（8）题知：
r=
1Acos(1?kθ)mh2=
1Acos(1+cθ)h2且A<0。θ=0是取距离最近时力心与双曲线焦点连线。又知：θ=π??时r→∞
2
即：1+cπ??π.=h222
得：?=π?πhh2+c2=π?πυ∞ρυ2∞ρ2+cc(π??)2又由于散射截面dσ=2πρdρ，且由上式可得：ρ=
?υ2∞(2π??)则:
dρπc(π??)
=
dσρ?2υ2∞(2π??)2
2π3c(π??)π2c(π??)
得：dσ=2πρdρ=22d?=22d?
?υ∞(2π??)2?υ∞(2π??)2sin?即微分散射截面:
dσπ2c(π??)
=22
d??υ∞(2π??)2sin?15．在光滑水平桌面上，两个质量分别为m,m′的质点由一不可伸长的绳联结，绳穿过固定在水平桌面上的光滑小环，如图所示。若m与小环相距d时获得垂直于绳的初速度，试写出质点m的轨道微分方程，并解出它的运动轨道方程。
&&′=?解:由于小环光滑,则:&&r=?rF(r)m′
故比内方程可写为：
2
d2u22du?mhu(2+u)=?m′&&r=m′hudθdθ2
2
2
得：
即：
d2um=?u2
′dθm+mr=1
=u1Acos(mθ)m+m′dcos(又因为θ=0时r=d，得：r=
mθ)m+m′&&≠?m′&&（注:此处mrr=?F(r)
）
16．质量为m质点A，轩于光滑的水平桌面上运动，如图所示。此质点系有一根轻绳，绳子穿过桌面O处的光滑小孔下垂，并挂有一同样质量的质点B。若质点A在桌面上离小孔距离为d处，沿垂直于绳子方向以初速率υ=9gd2射出，证明质点在此后运动离O点距离必在d到3d之间。
()
1
2
16解:设绳对B的拉力为T，A距孔为r，有
&2=?T?r?rθ?m&&
?
&&??T?mg=mr()
可得&2=?g2&&r?rθ代入：h=r2θ&=d9gd2()
1
2
??=?9gd2???
3
1
2
得：
h2
2&&r=3?gr&（注：&&r=r&dr）dr
理论力学简明教学教程(第二版)陈世民答案解析
