dU(r)dr=0,
d2U(r)dr2
>0
（等效势能：U(r)再利用F(r)=?
dV(r)drmh2
=2+V(r)）2r可导出：n<3
k2
（F=n）
r（2）轨道的轨迹曲线
?E<0?
?E=0?E>0?
(e<1)LL椭圆(e=1)LL抛物线(e>1)LL双曲线
〈析〉通过E与0的关系，即可判断天体运动的轨迹曲线
【解题演示】
1质点在有心力F(r)的作用下运动，质点速度的大小为υ=ar，这里a是常数。已知θ=0时r=r0，速度与矢量间夹角为?。求质点的轨道方程。
&=re&r+rθ&eθ且解:υ=r=cot?rθ&&=又因为rr
r
r
r
&rdr&
θdθdr=cot?dθrln
故上式转化成
积分并代入初始条件得
即：
r=θcot?r0
r=r0eθcot?2木星轨道的半长轴长度是5.2天文单位（1个天文单位为
1.5×108km）。求出（1）木星绕太阳运动的周期；（2）木星的平均轨道
速率。已知地球的平均轨道速率是29.8kms。
解：（1）依开普勒第三定律:木星与地球的周期联系为：(
（注:a地为1.0天文单位）
T木=(
5.232)T地=11.86T地 11.86年1
T木2a木3
)=()T地a地
（2）
υ木R木ω木R木T地5.2
===
υ地R地ω地R地T木11.86
5.25.2km=29.8× 13.07kmss11.8611.86
则:υ木=υ地
顺便证明开普勒第二第三定律:（1）
单位时间内扫过的面积
1r2dθdA11&=2=r2θ&=h=Adtdt22
（2）周期：
T= ∫dt= ∫
dt2222πa2π3
dA= dA= dA=πab=ap=a2
∫∫dAhhhkpk3月球的质量和半径分别是m=0.0123me和R=0.273Re，其中me,Re分
别是地球的质量和半径。试求（1）月球表面处的重力加速度；（2）若在月球表面发射火箭，使之脱离月球，则火箭的发射速度至少是多少？解：（1）g=
GMG(0.0123me)0.0123Gme== 0.165g地 1.62m22222
sR(0.273Re)(0.273)Re1
2
（2）脱离月球初动能：mυ2=
GMm=mgRR得：V=2gR=2×1.62×0.273×6.4×106ms 2.38×103msrμ2λr
4如果质点受到的有心力为F=?m(2+3)er，式中m及μ都是常数，
rr并且λ (1+coskθ) ，式中 h2?λk2h2Ak2h2 ，A为积分常数，h=r2θ&。k=,a=2,e=22 hμμd2u4证明:依比内方程?mhu(2+u)=F(u)=?m(μ2u2+λu3) dθ2 2 d2uh2?λu2 得:2=?2u+2 dθhhh2?λu2h2 积分得:u=Acosθ+22 2hhh?λr= 1= h2?λu2h2Acosθ+222hhh?λa1+ecoskθh2?λk2h2Ak2h2 式中:k=2,a=2,e=2,A为积分常数 hμμ2 5一质点受遵循万有引力定律的有心力作用,作椭圆运动.P1和P2是过椭圆中心一直径的两端,υ1,υ2分别是质点在P1和P2处的速率.证明υ1υ2=υ02.(υ0为短半轴处的速率) 1k2k2k2k22 证明:mυ0=E+=?+= 2a2aa2ak2 υ0= ma2 4k2k24k4 υ1υ2=2[E+] [E+]=2 2=υ04 ma(1+e)a(1?e)m4a2 2 即：υ1υ2=υ02 6设地球的半径为R,质量是m′.证明人造卫星在地球引力场中以椭圆轨道运动的速率由下试表示:υ=υe(?1r12Gm′,)R.其中υe= 2aR是质点能脱离地球的逃逸速度,即第二宇宙速度;a是卫星轨道半长轴的长度. 证明:在半径为r处:mυ2? 得：V= 1 2 Gm′mGm′m=E=?r2a2Gm′1111(?)R=υe(?)RRr2ar2a（υe= 2Gm′）R7太阳绕银河系中心运动,其轨道运动速度约为250kms,离银河系中心的距离为30000光年.以太阳质量ms为单位,估计一下银河系的总质量mg. 解:设银河系的质量几乎全部集中在核心mg上。 Gmsmg12 依msυ=E+2r代入E=? Gmsmg2rυ2r(2.5×105)2×9×1012×365×24×3.6×103 得：mg==kgG6.674×10?11 =2.66×1041kg 1.34×1011ms8一质点质量为m,在有心引力?kr3 作用下运动.试问质点的能量E 及角动量的大小L分别为何值时,质点将按轨道r=aebθ运动?这里 a,b均为已知常数. d2u解：（1）依比内公式有：?mhu(2+u)=?ku3 dθ2 2 d2uk得：2=(2?1)udθmh1积分得：u=Acos1?kθ2mh即：r= Acos1?kθmh2由于1?kππ时,轨道在处开口,是抛物线型,θ=±r→∞θ=± mh222 故E=0。 （2）mυ2+∫r(?3)dr=0 1 2 ∞ kr得：υ= dt1krmbθrrrd(aeer)&=又因为υ=rrr =abθ&ebθer+abebθθ&eθ得：υ=aebθθ&b2+1故θ&须满足：aebθθ&b2+1=得：θ&= 1aebθrr r 1kmrkm(b2+1)r r r 此时:L=r×mυ=aebθer×m(abθ&ebθer+abebθθ&eθ) km(b2+1)raebθmk(b2+1)&e2bθ=mraebθθ&=mraebθ=ma2θ=
理论力学简明教学教程(第二版)陈世民答案解析
