1θsinθsin2
Ccosθ2)=(+2θ4Rcos2θcos3
22
θθ2θ?sin2sin22cosC22+2)=(
θθ4Rcos2cos222
2
C2
=4R
11一质点沿着抛物线y2=2px运动，如图所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍。若此质点从正焦弦的一端点(p2,p)以速率u出发，求质点到达正焦弦的另一端点(p2,?p)时的速率
υ。
rdυrυ2r
解：建立自然坐标系有：a=eτ+en
dtρdυυ2υdsυdsdθ且：=?2k=?2k=?2k=?2kυdsdtρρdtdtdtdθdυ=?2kdθυ积分得：υ=ue?2k θ（代入υ0=u）又因为：y2=2px在(p2,p)点处斜率：
k1=
dy1dx
=
x=p2d2px=dxp2xx=p2=1
在(p2,?p)点处斜率：
dyk2=2
dx
d2pxp=?=?dx2xx=p2=?1
x=p
2故： θ=arctank2?arctank1=
π2
即：υ=ue?kπ12竖直上抛一小球，设空气阻力恒定。证明小球上升的时间比下落返回至原地点的时间短。
解：设空气阻力为f，且小球初速为υ，质量为没，则有：
上升时间：t1=
υg+fm)
1g2?f2υ2
上升高度：h=
2(g+f
m下落时间：t2=2ha=υ0
2g2?f2m22g?ft1mm<1得：==
t2(g+f)g+fmm即得证。
13质量为m的质点自离地面h高度处下落。若空气阻力与质点速度的平方成正比，比例常数为C，试讨论此质点下落过程中的运动状况。
&解：设加速度为a，速率为υ，则：ma=mg?Cυ2=mυ得：
dυ2
g?Cυ=dt积分并代入t=0时υ=0有：mmg(1?C21+e2tgCmυ=)&=a=υ(1+e&=8gea
2tgCm4g2tgCm2>0)2tgC2tgCgCm(1+e
m?3
)(1?e
m)<0
知：质点一直在做向下的变加速运动，且加速度越来越小。14将一质量为m的质点以初速度υ0与水平线成α角抛出，此质点受
到的空气阻力是其速度的mk倍，这里k是常数。试求当质点的速度与水平线之间的夹角又为α角度时所需时间。
&x=?mkυx,mυ&y=?mg?mkυy解：依牛顿第二运动定律有：mυ积分并代入初始条件：t=0时：υ0x=υ0sinθ,υ0y=υ0cosθ解得：υx=υ0cosθe?kt,υy=(υ0sinθ+)e?kt?当再次夹角为α时：可解出：t=ln(1+
1
kgkgkυyυx=?tanα2υ0ksinθ)g15一质量为m的质点用一长度为l的不可伸长的轻绳悬挂于一小环上，小环穿于一固定的水平钢丝上，其质量为3m2。开始时，小环静止质点下垂，处于平衡态。今若沿钢丝的水平方向给质点以大小为
2gl的初速度，证明若轻绳与铅垂线之间的夹角是θ时，小环在钢丝
上仍不滑动，则钢丝与小环间的摩擦系数至少是1力为FT=3mgcosθ。解：依
11
mυ2=mυ02?mgl(1?cosθ)22
2
3，此时绳中的张
得：mυr=2mgcosθ则：FT=mυr+mgcosθ=3mgcosθμ=
FT 3mgcosθsinθsin2θ2tanθ===22
33cos2θ+23+tanθ2
FT⊥+mg3mgcosθ+mg22
2
dμ2(3+tan2θ?2tan2θ)
又因为：==022
dtanθ(3+tanθ)
得：tanθ=3故：tanθ=3即得证。
16滑轮上绕有轻绳，绳端与一弹簧的一个端点联结，弹簧的另一端挂一质量为m的质点，如图所示。当滑轮以匀角速率转动时，质点以匀速率υ0下降。若滑轮突然停止转动，试求弹簧的最大伸长及弹簧中的最大张力。已知弹簧作用力为W时的静止伸长λ0。解：（注：此题中W=mg）设最大伸长为λm有：k=
依能量守恒：kλm2?kλ02=mυ02+mg(λm?λ0)
解得：λm=λ0+υ0λ0g则：FTm=kλm=
W?
?1+υ0λ0?
1?gλ0??1
2
12
12
mgW=λ0λ0
17两个相同的轻质弹簧，劲度系数为k，自然长度是l0，在它们中间竖直地串接一质量为m的质点。弹簧的另外两端点分别固定于A点和B点，如图所示，A、B间的高度差是3l02。设开始时质点静止于AB的中点，求质点的运动规律。17解：质点运动时势能
1?l0?1?l0kl2?2
V=?mgx+k?x??+k???x?=?mgx+kx+
2?4?2?416?dV
=?mg+2kx=0dxmg
得:x0=
2k
dV
&&且运动时受力满足：F=?=mg?2kx=mx
dx
2
2
在平衡时：
代入初始条件:t=0,x=0,A=x0
可解得：x=
?2k??mg?
?1?cos??tmg????2k?????
18两个质量都是m的质点A和质点B用一自然长度为l0的轻质弹簧相连，置于一光滑水平桌面上，如图所示。弹簧的劲度系数为k。两质点处于静止状态，弹簧呈自然长度；而后，质点B沿AB方向受到一大小为kl0的恒力作用。分别求处质点A和质点B的运动规律。
&&A=k(xB?xA?l0)LL*1??FA=mx
18解：依受力分析知?
&&B=k(2l0+xA?xB)LL*2??FB=mxkl0mkl
积分得:xA+xB=0t2+l0
2m
kkl
&A=(0t2?2xA)代入*1得：&x
m2m
&A+&&B=*1+*2得：&xxl0ω2t2
积分得：xA=(+cosωt?1)
42&B=同理：&x
kkl02
(t+3l0?2xB)m2m
l0ω2t2
积分得：xB=(?cosωt+5)
42
式中ω=
2k。m另解：先将AB及弹簧看成一系统，其质心做一受恒力kl的作用，再将A与B理解成绕质心做周期性振动，可得A的运动规律为质心运动与A振动的合运动，B亦然。计算亦很简单！
19一质点从一光滑圆柱表面最高处，自静止下滑，如图所示。问质点滑至何处将脱离圆柱表面？
理论力学简明教学教程(第二版)陈世民答案解析
