第零章 数学准备
一 泰勒展开式
1 二项式的展开
mm-1mm-1m-2
f?x???1?x?m?1?mx+??x2?????x3??
2！
3！
2 一般函数的展开
f?xf??xf???x
f?x??f?x0???0??x-x0???0??x-x0?2??0??x-x0?3??
1！
2！
3!
特别:x0?0时,
f??0?f???0?2f????0?3
f?x??f?0??x?x?x??
1！2！3!
3 二元函数的展开(x=y=0处)
???f?1??2f?f?2f?2f22
?f?x，y??f?0???x+yx?2xy+y?? ??00?00022???y?2！?x?y?y??x??x?
评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线
性问题的转化。在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。
二 常微分方程
1 一阶非齐次常微分方程： y+P?x?y=Q?x?
?P?x?dx??P?x?dxdx? 通解：y?e?cQxe??????
??
注：??P?x?dx,?Q?x?e?P?x?dxdx积分时不带任意常数，Q?x?可为常数。
2 一个特殊二阶微分方程
??y??A2y?B 通解：y=Kcos?Ax+?0??
B
2A
注：K,?0为由初始条件决定的常量 3 二阶非齐次常微分方程
??by?f?x? y?ay ??
通解：y?y?y*；y为对应齐次方程的特解，y*为非齐次方程的一个特解。
非齐次方程的一个特解 （1） 对应齐次方程
????by?0 y?ay
设y?e?x得特征方程?2?a??b?0。解出特解为?1，?2。 *若?1??2?R则y1?e?x，y2?e?x；y?c1e?x?c2e?x
1
2
1
2
*若?1??2?R则y1?e?x，y2?xe?x； y?e?x(c1?xc2)
1
1
1
??e?xcos?x，y??e?xsin?x；*若?12????i则y12
y?e?x(c1cos?x?c2sin?x)
（2） 若f?x??a0x2?b0x?c0为二次多项式
*b?0时，可设y*?Ax2?Bx?C *b?0时，可设y*?Ax3?Bx2?Cx?D
注：以上c1,c2,A,B,C,D均为常数，由初始条件决定。
三 矢量
1 矢量的标积
????
A?B=B?A=ABcos?=AxBx+AyBy+AzBz
注：常用于一矢量在一方向上的投影 2 矢量的矢积
??i
?????? A?B=-(B?A)=ABsin?en=?Ax
?B?x
?jAyBy
?k??Az? Bz??
?(AxBy?AzBy)i?(AzBx?AxBz)j?(AxBy?AyBx)k
???
四 矩阵
此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。
?a11x1?a12x2?a13x3?0
??a21x1?a22x2?a23x3?0 ?ax?ax?ax?0?311322333
?a11a12
令D???a21a22
?a
?31a32a13??a23? a33??
*D=0时，方程组有非零解 *D?0时，方程只有零解
第一章牛顿力学的基本定律
万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑起，三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色，微积分更是风光占尽。【要点分析与总结】
1质点运动的描述（1）直线坐标系
r
r=xir+yjrrυr&=r&r=xi&r+zk
+yj
&r+zk&rra=υr&=&rr&=&xi&r+&yj&r+&zk
&r（2）平面极坐标系
rr=rer
υr=&rerrr+rθ&rera=(r&&?rθ&2)erθr+(rθ&&+2r&θ&)erθ（3）自然坐标系
υr=υret
ra=υrv2&er
t+ρen（4）柱坐标系
ra=υ&rev2r
t+enυr=ρ&rρeρθerρ+&rθ+&ze
z〈析〉上述矢量顺序分别为：ri,rj,k;errrrrrrrrrr,eθ,ek;et,en,eb;eρ,eθ,ez.
r
der&rrr
=θek×er=θ&eθdtr
deθ&rrr&e矢量微分：=θek×eθ=?θrdtr
dek&rr
=θek×ek=0dt
（其它各矢量微分与此方法相同）微分时一定要注意矢量顺序
2牛顿定律
惯性定律的矢量表述
r
rd2rrma=m2=F
dt
（1）直角坐标系中
?Fx=mx&&?
&&?Fy=my
?&&?Fz=mz
（2）极挫标系中
?Fr=m(r&&?rθ&2)?&&+2r&)&θ?Fθ=m(rθ?F=0?k
（3）自然坐标系中
&?Fτ=mυ?
υ2?
?Fn=m
ρ?
??Fb=0
3质点运动的基本定理几个量的定义：
动量角动量
rr
P=mυrrrrrL=r×mυ=r×P
理论力学简明教学教程(第二版)陈世民答案解析
