1
1
，0，1?， E??2?
13→→
所以AC＝(－1，0，0)，BE＝?，－，1?.(2分)
2?2?记异面直线AC和BE所成角为α， →→
则cosα＝|cos〈AC，BE〉|
??＝??
1－1×
22
＝， 2241??＋?－3?＋1
?2??2?????
所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为
2
.(4分) 4
(2) 设平面BFC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)． 13→→
－，0，2?， 因为FB＝?0，，0?，FC1＝??2?2??
3→
FB＝y＝0，?m·2则?取x＝4，得平面BFC的一个法向量为m＝(4，0，1)．(6分)
1→
FC＝－x＋2z＝0，?m·2
1
1
1
1
1
1
设平面BCC1的法向量为n＝(x2，y2，z2)． 13→→
因为CB＝?，，0?，CC1＝(0，0，2)，
?22?3→1
CB＝x＋y＝0，?n·22则?取x＝
→?n·CC＝2z＝0，
2
2
2
1
2
3得平面BCC1的一个法向量为n＝(3，－1，0)，(8分)
所以cos〈m，n〉＝
4×3＋（－1）×0＋1×0（3）2＋（－1）2＋02·42＋02＋1
＝2251
. 17
根据图形可知二面角FBC1C为锐二面角， 251
所以二面角FBC1C的余弦值为.(10分)
17
6、(2017苏锡常镇调研） 如图，已知正四棱锥PABCD中， PA＝AB＝2，点M，N分别在PA，BD上，且
PMBN1＝＝. PABD3
(1) 求异面直线MN与PC所成角的大小； (2) 求二面角NPCB的余弦值．
2
1
→
→
解析：PA＝AB＝2，所以OP＝2.以O为坐标原点，DA，AB方向分别为x轴、y轴正方向，建立空间
直角坐标系Oxyz，如图．(1分)
→
则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0，0，2)，AP＝(－1,1，2)． 1122?→1→?11?→→→→2→
故OM＝OA＋AM＝OA＋AP＝?，－，，ON＝OB＝?3，3，0?，(3分)
3333??3222?→→
所以MN＝?0，，－，PC＝(－1,1，－2)，
3??3→→MN·PC3→→
所以cos〈MN，PC〉＝＝，
2→→
|MN||PC|π
所以异面直线MN与PC所成角的大小为.(5分)
6
42→→→
－，，0?. (2) 由(1)知PC＝(－1,1，－2)，CB＝(2,0,0)，NC＝??33?→→
设m＝(x，y，z)是平面PCB的法向量，则m·PC＝0，m·CB＝0，
?－x＋y－2z＝0，可得? 令y＝2，则z＝1，即m＝(0，2，1)．(7分)
?x＝0，
→→
设n＝(x1，y1，z1)是平面PCN的法向量，则n·PC＝0，n·CN＝0，
?－x1＋y1－2z1＝0，可得? 令x1＝2，则y1＝4，z1＝2，即n＝(2,4，2), (9分)
?－2x1＋y1＝0，
52533m·n
所以cos〈m，n〉＝＝＝，
|m||n|333×22则二面角NPCB的余弦值为
2
533
.(10分) 33
1
7、(2017南京学情调研） 如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是线段PC的中点．
(1) 求异面直线AP与BE所成角的大小；
(2) 若点F在线段PB上，且使得二面角FDEB的正弦值为3PF
，求的值． 3PB
规范解答 (1) 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，所以DA，DC，DP→→→
两两垂直，故以{DA，DC，DP}为正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz.
因为PD＝DC，所以DA＝DC＝DP， 不妨设DA＝DC＝DP＝2，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)． 因为E是PC的中点，所以E(0,1,1)， →→
所以AP＝(－2,0,2)，BE＝(－2，－1,1)， →→AP·BE3→→
所以cos〈AP，BE〉＝＝，
2→→
|AP|·|BE|π→→
从而〈AP，BE〉＝.
6
π
因此异面直线AP与BE所成角的大小为.(4分)
6
→→→
(2) 由(1)可知，DE＝(0,1,1)，DB＝(2,2,0)，PB＝(2,2，－2)． →→→
设PF＝λPB，则PF＝(2λ，2λ，－2λ)， →→→
从而DF＝DP＋PF＝(2λ，2λ，2－2λ)． 设m＝(x1，y1，z1)为平面DEF的法向量，
2
1
→??DF＝0，?m·?λx1＋λy1＋?1－λ?z1＝0，则?即?
?→y＋z＝0，?11?DE＝0，?m·
取z1＝λ，则y1＝－λ，x1＝2λ－1.
故m＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF的一个法向量．(6分) 设n＝(x2，y2，z2)为平面DEB的法向量， →??DB＝0，?n·?2x2＋2y2＝0，
则?即?
?→y＋z＝0，?22?DE＝0，?n·
取x2＝1，则y2＝－1，z2＝1.
所以n＝(1，－1,1)为平面BDE的一个法向量．(8分) 因为二面角FDEB的正弦值为
3
， 3
6， 3
所以二面角FDEB的余弦值的绝对值为即|cos〈m，n〉|＝化简得4λ2＝1.
|4λ－1||m·n|6
＝＝， 22|m|·|n|33·?2λ－1?＋2λ
因为点F在线段PB上，所以0≤λ≤1， 1PF1
所以λ＝，即＝.(10分)
2PB2
8、(2017南京、盐城二模） 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝π
AB＝2，∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．
3
(1) 求异面直线EF，AD所成角的余弦值； (2) 设点M在线段A1D上，A1M
＝λ.若CM∥平面AEF，求实数λ的值． A1D
规范解答 (1) 连结AC，则△ABC是正三角形． 又E是BC的中点，可得AE⊥BC，从而AE⊥AD.
→→→以{AE，AD，AA1}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，E(3，0,0)，C(3，1,0)，D(0,2,0)，
2
1
A1(0，0,2)，F?
31?，，1.(2分) ?22?
31→→
因为EF＝?－，，1?，AD＝(0,2,0)．
?22?→→
所以cos〈EF，AD〉＝
12
＝. 2×24
2
.(4分) 4
所以异面直线EF，AD所成角的余弦值是
(2) 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
?由?31→
n·AF＝x＋y＋z＝0，?22
→n·AE＝3x＝0，
不妨取n＝(0,2，－1)．(6分)
A1M→→因为点M在线段A1D上，＝λ，所以A1M＝λA1D，
A1D
→→→
得CM＝CA1＋λA1D＝(－3，－1,2)＋λ(0,2，－2)＝(－3，2λ－1,2－2λ)．(8分) →→
因为CM∥平面AEF，所以CM⊥n，从而CM·n＝0， 2
即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝.(10分)
3
题型二 直线与平面所成的角
1、(2024常州期末）如图，在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四棱锥PABCD的高OP＝2，点B，D和C，A分别在x轴和y轴上，且AB＝2，点M是棱PC的中点．
(1) 求直线AM与平面PAB所成角的正弦值； (2) 求二面角APBC的余弦值．
规范解答 (1)记直线AM与平面PAB所成角为α，A(0，－1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，13→→→
0，，1?，则AB＝(1，1，0)，PA＝(0，－1，－2)，AM＝?0，，1?. 2)，M??2??2?
→?AB＝0，?x＋y＝0，?n·设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，所以?即?令x＝2，则y＝－2，z＝1，
→－y－2z＝0，??PA＝0，?n·所以平面PAB的一个法向量为n＝(2，－2，1)，
2
2024年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读（江苏版）31 空间向量与立体几何（解析版）
