1
考点31空间向量与立体几何
一、考纲要求 内容 要求 A 空间向量的数量积 空间向量的共线与垂直 直线的方向向量与平面的法向量 空间向量的应用 √ B √ √ √ C 1、了解空间向量的基本定理及其意义；理解空间向量的夹角、数量积的概念； 2、理解直线的方向向量与平面的法向量， 3、能用向量方法证明有关线、面位置关系。 4、能用向量方法证明有关线、面的夹角等计算问题。 二、近五年江苏高考 年份 考查知识点 2018年 异面直线所成的角以及直线与平面所成的角 2017年 异面直线所成的角以及平面与平面所成的角 2015年 平面与平面所成的角以及与直线与直线所成角的问题 求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的平面角是近几年江苏高考附加题常见的题型，用空间向量的方法研究立体几何中的空间角的问题。 三、考点总结
1、向量是利用数形结合解题的一种重要手段，只有掌握向量运算的各种集合意义，才能更好地利用向量这一工具解决相关问题。
2、用向量的方法解决立体几何的两大问题：一是特殊位置关系的判断，二是一般位置关系的计算。 四、近五年江苏高考
1、（2018年江苏卷） 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
2
1
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
【解析】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量
的夹角，再
的一
根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果. 详解：如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以因为AB=AA1=2， 所以
．
为基底，建立空间直角坐标系O?xyz．
（1）因为P为A1B1的中点，所以从而
，
，
故．
2
1
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为（2）因为Q为BC的中点，所以因此
，
， ．
．
设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量， 则不妨取
即
，
设直线CC1与平面AQC1所成角为， 则
，
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．
2、（2017年江苏卷） 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝120°.
(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； (2) 求二面角BA1DA的正弦值．
解：在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E. 因为AA1⊥平面ABCD，AE，AD?平面ABCD， 所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.
→→→
如图，以{AE，AD，AA1}为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz. 因为AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝120°， 则A(0,0,0)，B(3，－1,0)，D(0,2,0)， E(3，0,0)，A1(0,0，3)，C1(3，1，3)．
2
1
→→
(1)A1B＝(3，－1，－3)，AC1＝(3，1，3)， →→A1B·AC1→→
则cos〈A1B，AC1〉＝
→→|A1B||AC1|＝
?3，－1，－3?·?3，1，3?1
＝－，
77
1
因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为. 7→
(2)平面A1DA的一个法向量为AE＝(3，0,0)． 设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量， →→
又A1B＝(3，－1，－3)，BD＝(－3，3,0)， →?A1B＝0，?m·?3x－y－3z＝0，则?即?
→?－3x＋3y＝0.?BD＝0，?m·
不妨取x＝3，则y＝3，z＝2，
所以m＝(3，3，2)为平面BA1D的一个法向量， →
?3，3，2?3AE·m?3，0，0?·→
从而cos〈AE，m〉＝＝＝.
4→3×4|AE||m|3
设二面角BA1DA的大小为θ，则|cosθ|＝.
4因为θ∈[0，π]，所以sinθ＝1－cos2θ＝因此二面角BA1DA的正弦值为
7. 4
7. 4
3、(2015年江苏卷). 如图，在四棱锥PABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠π
ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.
2
(1) 求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
(2) 点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
2
1
→→→
规范解答 以{AB，AD，AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)．
→→
(1) 因为AD⊥平面PAB，所以AD是平面PAB的一个法向量，AD＝(0,2,0)． →→
因为PC＝(1,1，－2)，PD＝(0,2，－2)． 设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)， →→则m·PC＝0，m·PD＝0，
??x＋y－2z＝0，即?令y＝1，解得z＝1，x＝1. ?2y－2z＝0.?
所以m＝(1,1,1)是平面PCD的一个法向量． →
AD·m3→
从而cos〈AD，m〉＝＝，
3→
|AD||m|
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为
3. 3
→→→→→→→
(2) 因为BP＝(－1,0,2)，设BQ＝λBP＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)，又CB＝(0，－1,0)，则CQ＝CB＋BQ＝(－→→
1＋2λCQ·DP→→→
λ，－1,2λ)，又DP＝(0，－2,2)，从而cos〈CQ，DP〉＝＝. 2→→10λ＋2|CQ||DP|
2t229→→
设1＋2λ＝t，t∈[1,3]，则cos〈CQ，DP〉＝2＝≤. 5t－10t＋9?15?22010
9?t－9?＋
9
2
92310→→
当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈CQ，DP〉|的最大值为.
5510
π
因为y＝cosx在0，上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．
2225
又因为BP＝12＋22＝5，所以BQ＝BP＝.
55
2
2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读（江苏版）31 空间向量与立体几何（解析版）
